Una pregunta matemática y los ingenieros la lían

Señores: Antes de entrar al tema, he visto que tengo montones de comentarios pendientes de respuesta. En las últimas semanas han pasado muchas cosas que me han impedido entrar aquí con calma y tiempo. Entre ellas, una tormenta tropical (gracias, calentamiento global provocado por el ser humano) y en consecuencia cortes de luz que duraron días y mostraron que Estados Unidos no sólo ya es un “emperador desnudo” al mundo, sino que la infraestructura nacional es tercermundista. Ni siquiera en la República Dominicana duraría más de 1 semana el corte de luz por una tormentita que ni siquiera duró 15 minutos. No hubo ni vientos que justificaran el apagón masivo en gran parte del estado de New Jersey y Nueva York…pero en fin, en esas estamos. Por otro lado, tuve un psicópata ex-inquilino amenazando mi vida y tuve que estar armado y preparado. Posteriormente, me dijo que se iba a “suicidar”. No he vuelto a oír nada, así que supongo que, o bien cumplió su amenaza, o bien se dio cuenta ante mi falta de respuesta y perder mi tiempo que patalear no funciona conmigo.

Me comprometo con responder a todo el mundo entre hoy y este fin de semana, incluido el largo comentario del lector IOSEFF…le debía una respuesta y a mí no se me olvidan las cosas.
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Entremos, pues, al asunto de hoy que me chocó bastante el otro día. Se trata de una de las preguntas matemáticas en el examen de oposición para profesores de matemáticas para Valencia, España, año 2019.

La pregunta es la siguiente:

Demostrar que el volumen de cualquier cono recto inscrito en una esfera es menor que el 30% de la esfera. Si quieren ver una solución al problema (porque este mismo ejercicio se publicó en el examen de selectividad de 2005), aquí hay una solución de Segundo Pérez (ingeniero).

Copio la solución que aportó otro ingeniero — Jose Antonio Álvarez Cubero. Posteriormente, os demostraré como matemático puro, una solución mucho menos liosa y más elegante, en términos de matemáticas puras.

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SOLUCIÓN DE ÁLVAREZ CUBERO:

Consideramos una esfera de radio fijo R. Encontraremos un cono recto La distancia desde el vértice hasta el plano que contiene la base es la altura h del cono. El radio de la base se llama radio r del cono. Si el vértice está situado en la vertical trazada desde el centro de la base, llamamos al cono un cono circular recto, o simplemente, cono recto. de volumen máximo que se pueda inscribir en la esfera en función de R y el radio r y altura h del cono.

La distancia desde el vértice hasta el plano que contiene la base es la altura h del cono. El radio de la base se llama radio r del cono. Si el vértice está situado en la vertical trazada desde el centro de la base, llamamos al cono un cono circular recto, o simplemente, cono recto.

1.2.1 Método maximizando la altura del cono

El volumen de un cono viene dado por:

Como podéis ver, es una solución innecesariamente engorrosa, pero muy representativa del estílo de un ingeniero. He de reconocer que es una respuesta formal y elegante. No tiene nada “mal”, pero yo prefiero resolver los problemas desde una óptica más puramente matemática.
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MI SOLUCIÓN:

Vamos a permitir que el ápice del cono se encuentre en el punto (-1, 0, 0) y dejemos que su base esté situada en el plano de coordinadas z = c.

Entonces, el área de la base es:

\pi(1-c^2) y la altura del cono es c + 1, así que el volumen del cono será:

\frac{\pi(1-c)(1+c)^2}3

Si tomamos la derivada de esto y controlamos para que el resultado sea cero, llegamos a producir la siguiente ecuación:

2(1-c)(1+c) - (1+c)^2 = 0 \implies 2(1-c) - (1+c) = 0 \implies c= \frac13

El volumen del cono cuando c = \frac13 es:

\pi \cdot \frac23 \cdot \frac43 \cdot \frac43 = \frac{\frac{32}{27}\pi}3

Si dividimos esto por \frac43 \pi (el volumen de la esfera) nos da:

Problema resuelto.

¿Qué solución os ha gustado más y por qué?

9 comentarios

  1. Republican James · ·

    Buenas:

    Ambas soluciones son correctas (numéricamente), sin embargo su conclusión:

    “Si dividimos esto por 4/3*pi (el volumen de la esfera) nos da…”, no es correcto, en cuanto que esa cifra no es el volumen de la esfera. Corríjalo (el comentario) o sus estudiantes se mondarán de risa… Tenga en cuenta que ese “volumen” sería el que procede de una esfera de radio 1, y está muy oscuro en su procedimiento llegar a que la esfera tiene radio 1, luego eso no está bien desde mi punto de vista. Y si no, argumente. A mí me da que esa forma de proceder no es propia de un matemático puro, como Ud. se cataloga, habida cuenta que también es abogado.

    Como matemático que es, sabrá que el hecho de llegar a un resultado correcto no implica que los pasos intermedios lo sean. Y si lo son, en este caso, no son propios de un matemático, pues no se demuestra por ningún lado que la esfera tiene ese volumen. De nada vale, “es que he omitido esto y lo otro”. Si se omiten cosas no evidentes no son propias de un matemático. El ingeniero ha argumentado de cabo a rabo.

    El primer método del ingeniero está argumentado además con símbolos matemáticos como el y lógico (^), que demuestran que el ingeniero que lo escribió sabía bastante de matemáticas.

    Si me demuestra que el volumen de la esfera tiene radio 1, cuando hemos partido de la base del cono con parámetros (c es la altura, r la hipotenusa y 1 la distancia horizontal al punto medio y con eso yo no veo nada que relacione que el radio de la esfera R es 1), sí le consideraré un matemático. En caso contrario, no. Esa demostración es parcial, yo no la daría por válida. Yo también he dado clases a universitarios y en algunas asignaturas habían dado cosas que yo no, pero sobre la marcha lo fui solucionando, tengo esa capacidad.

    Sin acritud.

    Ah, y no subestime a los ingenieros, o al menos a todos. Ya ve que ese resultado a los que entendemos “no cuela”.

    Un ingeniero industrial.

  2. Republican James · ·

    “habían” -> “había”… fe de erratas

  3. Republican James · ·

    Si quiere Ud. corríjame a mí este estudio. Necesitamos saber cuánto tiempo tardará en vaciarse un depósito de 15.000 litros si se le practica la abertura de 2 entradas de 2 pulgadas cada una a una presión interna manométrica de 8 bar. El problema es que vamos a realizar la sustitución de compresores, depósito, secadores y montaje de tuberías en la sala de compresores y para la última operación de desmontado del depósito a presión se necesita tenerlo presurizado hasta casi el final por razones operativas y tan solo tenemos 4 horas para hacer las últimas maniobras. A algún ingeniero le he comentado y me ha respondido que “se pierde en las derivadas parciales”. Es cierto que muchos ingenieros odian las matemáticas, no se lo discuto, pero todos no somos iguales. Esto se va a hacer a partir de principios de septiembre y el jefe de producción estaba procupado por este tema, el tiempo que tardaría en vaciarse el dichoso depósito. No he encontrado nada en la bibliografía, solo temas de hidráulica, pero me acordé de la ecuación de marras de “mecánica de fluidos”, si se quiere entretener en problemas reales y prácticos.

    Ahí lo tiene.

    https://es.scribd.com/document/471078038/Calculo-de-Tiempo-de-Descarga-en-Un-Deposito-I-Por-Ecs-de-TLV-en-Internet-2-Por-Ec-de-Euler-Bernoulli-de-La-Mecanica-de-Fluidos

  4. “Si dividimos esto por 4/3*pi (el volumen de la esfera) nos da…”, no es correcto, en cuanto que esa cifra no es el volumen de la esfera. Corríjalo (el comentario) o sus estudiantes se mondarán de risa”

    Vamos a ver, el volumen de una esfera se da por:

    4/3pir^3.

    “Tenga en cuenta que ese “volumen” sería el que procede de una esfera de radio 1”

    Por supuesto…pero, yo no he dicho lo contrario…

    “y está muy oscuro en su procedimiento llegar a que la esfera tiene radio 1”

    Si el enunciado no dice lo contrario, matemáticamente se parte de radio 1 ya que es una demostración formal.

    “A mí me da que esa forma de proceder no es propia de un matemático puro, como Ud. se cataloga, habida cuenta que también es abogado.”

    Pues entonces usted no tiene idea de lo que es un matemático puro, ya que mi solución es absolutamente partiendo desde las matemáticas puras, sin dar una explicación tan engorrosa (e innecesaria) como hacen los ingenieros.

    ¿Abogado? No lo soy. He estudiado Derecho, pero no me considero abogado y jamás he ejercido como tal.

    “Como matemático que es, sabrá que el hecho de llegar a un resultado correcto no implica que los pasos intermedios lo sean. Y si lo son, en este caso, no son propios de un matemático, pues no se demuestra por ningún lado que la esfera tiene ese volumen.”

    Esto no tiene sentido alguno. Si mira el dibujo del ingeniero, verá que la distancia entre el ápice y la base circular se denomina “h”. Está entre 0 y 2r (r es el radio de la esfera) y el radio de la base crece si h aumenta partiendo desde 0 a r y se reduce otra vez si h llega al 2r.

    Por pitágoras, (h-r)^2+x^2=r^2 x es el radio de la base. Por eso podemos eliminar x^2 a favor de 2rh-h^2, dándonos V(h)=\frac{1}{3}(2rh-h^2)h y en consecuencia:

    V(h)=\frac{1}{3}(2rh-h^2)h

    Esto desaparece en h=\frac {4}{3}r

    Por lo tanto, x=\frac{\sqrt8}3r

    El radio que se nos da es simplemente “r” y yo pensaba que era obvio incluso hasta para un ingeniero que una variable sola es 1r.

    Tampoco he dicho nada de que los ingenieros sepan o no matemáticas. Una persona puede saber hablar un idioma y no lo hace lingüista de ese idioma. Los ingenieros no son matemáticos.

  5. Entiendo su discrepancia con lo del volumen de la esfera…pretendía expresarlo en términos de h, pero veo que puede producir confusión.

    Con respecto a su pregunta, han eliminado el documento del enlace que aporta.

  6. Republican James · ·

    Buenas.

    Vamos a ver…. Analizando más su problema.

    Ud. afirma que el vértice del cono está en (-1,0,0), que en el espacio euclídeo R3 en coordenadas cartesianas quiere decir que la coordenada x está desplazada una unidad “hacia atrás” en el eje X respecto al origen estando el resto situadas en el origen del sistema de coordenadas.

    Expresa luego “dejemos que su base esté situada en el plano de coordenadas z = c”. Es decir, consideramos la altura como c. Y respecto a la coordenada z, partimos de 0 hacia abajo, según le he entendido, pues si el vértice está “arriba” (no es un cono regular invertido), nos desplazamos en z hacia el semieje negativo (hacia la base del cono), luego es c (la distancia siempre va en valor absoluto) y no hay que añadir nada (a no ser que algún matemático permute los sistemas de coordenadas tal como, {z, x, y} cosa que dudo, pero…

    Luego se entra en contradicción “la altura del cono es c + 1”. Por eso le he explicado el segundo párrafo. ¿De dónde se saca el 1? ¿?¿?¿?¿? ¿Tiene relación con el desfase de la coordenada x? ¡Pero si estamos en z!

    No sé, me da que esta solución tiene muy poco rigor, además del tema de poner que el radio de la esfera es 1. Piénselo fríamente, eso no tienes ni pies ni cabeza. Otra cosa es que simplificara el radio R de la esfera con el del cono, como hacen sus amigos los ingenieros. Pero, no, no, directamente a hacer su procedimiento, sacándose números, volviéndolos a quitar sin ton ni son.

    Además, si proyectamos el cono sobre el plano zy, teniendo en cuenta que el vector unitario de x es entrante a la pantalla, tendríamos,

    1) Por una parte la cota en x, que es -1 en el vértice es intrascendente totalmente porque no tiene ninguna referencia con el valor del radio r de la base del cono, es decir, no podemos correlacionarla de ninguna forma, pues el radio r, no tiene nada que ver con la distancia entre -1 y 0 en x, y en caso de que la tuviese, el valor de r sería 1, luego la posición del vértice es intrascendente, reitero. Puede estar en (-5,0,5) tranquilamente, por ejemplo, o en cualquier otra posición. El resultado sería lo mismo. Si para Ud. sí la tiene, entonces es que ha empezado a orientarse en el problema mal. Eso no ayuda nada al desarrollo del problema en cuanto que no interviene ni cambia los cálculos. Otra cosa sería que nos dieran los datos de la base, en su proyección. Eso es otro cantar.

    2) Ud. dice que el valor de la altura del cono es c+1 después de afirmar lo contrario, como ya he puesto. Bien. Vamos a realizar el cálculo con la proyección antedicha, donde resultaría un triángulo rectángulo. Tendríamos la hipotenusa h, el radio r y la altura c+1.

    Por Pitágoras, h^2 = r^2 + (c+1)^2 (1)

    Ud. afirma que el radio es r^2 = 1 – c^2 (2)

    La única forma de que Ud. haya obtenido ese radio es considerar la hipotenusa h como 1, siendo r y c los catetos. Eso es una arbitrariedad. Además, primero dijo que la altura era c, luego c+1, y finalmente aplica c ¿?¿?¿?¿?¿?¿?

    Sinceramente, el resultado será todo lo bonito que Ud. quiera pero yo lo veo con fallos, seguramente porque lo hizo apresuradamente y no se dio cuenta de los errores. Pero yo los veo, amigo, y no soy matemático, pero entiendo lo suficiente como para que no me la den.

    Un matemático debe saber más matemáticas que un ingeniero (eso es obvio, pues su carrera se basa en ello), pero no todos los ingenieros somos pardillos en matemáticas. Téngalo en cuenta para no hacer este tipo de artículos en los que Ud. mismo se ve manchado por su propia prepotencia. Yo nunca he oído de ningún ingeniero criticar a los matemáticos, lo que sí he oído es que a la mayoría no le gustan las matemáticas (a todos los que he preguntado y me he quedado sorprendido), pero siempre hay alguno que es la excepción que cumple la regla, como yo. Y me da un no sé qué que Ud. venga ahora criticando a ingenieros, que si son embrollosos, que si no sé qué, cuando son estrictos en su argumentación, cosa que la suya, sinceramente, no tiene ni pies ni cabeza. Y no pretendo ser duro con Ud. porque me gusta a veces dialogar, pero no es ya por el título desquiciante sobre los ingenieros sino por resolver un problema “por otro camino” que tiene fallos graves, como le estoy demostrando. Es que un matemático puro no puede afirmar que “yo tomo una esfera de radio 1” y la compara con un cono de radio r. Es que eso no es de ser matemático, es tener fe en uno mismo y hacer galimatías con los números (para mí graves en un matemático que se aprecia como el que más), como la que hay que tener para escuchar al inepto con palabras rimbombantes mal llamado “Don Hostia” (Jesús Huera de Soto). Para mí la ciencia vertida en este problema es la misma que vierte el semejante gilipuertas mencionado engreído. NO la hay.

    Y ahora le paso yo mi estudio humilde sobre la descarga de presión de un depósito que es algo práctico. Es cierto que el enlace no funciona, pero esta mañana comprobé que sí. No sé porque ese artículo no se ha publicado para todo el mundo.

    Como ve empleo ecuaciones diferenciales parciales, les doy sentido, y al final creo que el procedimiento de cálculo teórico está bien. Si quiere corregirme, adelante, la primera parte está hecha en base a una página web y eso no me cuadra, porque se alcanzan velocidades de salida de aire comprimido supersónicas. La segunda parte, al principio me intimidó, pues pensé que tenía que proceder con alguno de los sistemas estudiados en el curso de ecuaciones diferenciales, pero no, no fue así, y finalmente creo haberla desarrollado con rigor. Sí que es cierto que tras hacer la tabla de presiones cuando se llegan a bajas por haberse descargado mucho el depósito, sigue habiendo una cierta velocidad. Por mi experiencia en instalaciones de gas industrial pequeñas, los reguladores de gas tras la ERM pueden tener del orden de 100 – 150 mbar, y eso también es presión. Para que se haga una idea, en las conducciones finales, tras los reguladores de los aparatos de gas domésticos y algunos industriales como tubos radiantes van aproximadamente 20 mbar. Por lo tanto, no sé si esas velocidades a tan bajas presiones serán reales, pero el cálculo es el cálculo.

    Ahí va:

    https://drive.google.com/file/d/1J0wXkSYmNHLWYOUFAEzGf_hfXJg2D31M/view?usp=sharing

    Corrija, pero con rigor mi escrito, como yo he hecho. No le he censurado como persona, solo por el problema. Sinceramente, yo le ponía un 4. Y siendo bastante de mano izquierda. Esperaba algo más de un matemático como Ud. Me ha defraudado.

  7. Republican James · ·

    Otro asunto:

    El volumen de un cono es Vc = (pi · r^2 · h) / 3, siendo el área de la base pi · r^2 y h, la altura,

    Ud. pone,

    Área de la base, pi · (1 – c^2).

    Altura, h = c + 1

    Volumen que pone, Vc = [pi · (1 + c)^2 · (1 – c) ] / 3

    de lo que deduzco,

    1) la altura h no es c + 1, sino 1 – c . Tiene 3 valores distintos para definir h. 1 – c NUNCA puede ser cierto, porque la altura c siempre va a medir más que la hipotenusa para conos que vayan a maximizar y con 1 – c esto no se cumple. Además, ¿cómo vamos a maximizar una función en la que hemos tomado un valor arbitrario y le hemos dado vueltas a todos los valores? ¿Qué vamos a obtener de ahí? Nada.

    2) El área de la base, pi · (1 + c)^2, cuando antes se definió con el signo – y con c elevado al cuadrado, no todo el sumando.

    Es decir, ha cambiado los signos en ambos términos y encima trastocado potencias. Todo un genio de la matemática “mágica”. Pues vaya magia…

    Al final he llegado a una extraña conclusión. Ud. era consciente de estos errores y los ha hecho adrede para que alguien los saque. En caso contrario, no me explico la cantidad de errores que se encuentran en su “mini” demostración.

    He comprobado su derivada y es correcta respecto al planteamiento de la ecuación del volumen, pero lamentablemente sus signos están invertidos y la potencia está mal…

    Demasiados fallos, Alfred. Ud. ha tomado la hipotenusa de la proyección como h = 1. Y encima ha ido cambiando variables alegremente. Parece un novato en 3º de BUP, perdone que le diga. Me esperaba algo más de Ud. Respeto a los matemáticos. ¿Ud. realmente lo es? Me ha demostrado lo contrario.

    La cantidad de burradas que he visto en esta demostración deben ser intencionadas. No me lo explico en un matemático. Confiese que ha sido para ver si alguien le sacaba los fallos, porque de lo contrario, se queda Ud. en muy mal lugar. ¿Ve lo que pasa con meterse con otros gremios profesionales?

    Sin acritud, pero vaya una demostración de un matemático…

  8. Vaya, vaya…alucino con sus comentarios. Se nota que le ha molestado muchísimo mi crítica hacia muchos ingenieros que complican las matemáticas puras.

    Usted empieza diciendo:

    “El volumen de un cono es Vc = (pi · r^2 · h) / 3, siendo el área de la base pi · r^2 y h, la altura”

    ¡Anda! Pero yo nunca he dicho “cono” solamente. He dicho CONO RECTO en el problema.

    Y usted sabe (o eso espero realmente) que el volumen de un CONO RECTO se da por:

    \frac{1}{3}\pi r^2h

    Hace falta, precisamente, maximizar este volumen y por eso interesa expresarlo como una función de una SOLA variable. De ahi a que se utilice el triángulo rectángulo ABC. Según el teorema de Pitágoras tenemos: R^2 = x^2 + r^2

    Pero en fin…no sé cómo reaccionar a su exabrupto. Voy a releer lo que ha escrito porque realmente estoy helado.

  9. Bien, por si acaso envié mi solución al Consejo de matemáticos y nadie ha dicho las barbaridades que usted dice. Todos han dicho que mi solución es elegante y mucho más sencilla que la del ingeniero, obsesionado con una computación engorrosa. No voy a entrar en sus provocaciones e insultos. Cuando decida comentar con algo serio, le responderé.

    Por cierto, envié mi solución al consejo matemático porque sé que no soy infalible y durante unos segundos me entró una duda. Copié su réplica y críticas y sin lugar a dudas, todos han dicho que usted es un pedante y que no está bien de la cabeza. Le doy nombres:

    El profesor Brian Scott de la Cleveland State University, topólogo.
    El profesor Levent Alpoge de la Universidad de Columbia en Nueva York…

    ¡y muchos más!

    Envié mi solución más que nada porque tengo mucho respeto hacia las matemáticas y su exabrupto ha sido una locura. Lo siento pero ha quedado muy mal con sus insultos y me hacen pensar que usted sufre de un trastorno mental. Hágaselo mirar.

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