Repaso de las funciones matemáticas: Clase magistral

El famoso matemático escocés, Eric Temple Bell, dijo una vez que cualquier alumno impaciente de las matemáticas que se molesta por el simbolismo algebraico fundamental debería intentar hacer matemáticas sin símbolos durante una semana.

Por lo que pude ver en entradas anteriores, muchos lectores tienen un nivel más avanzado de matemáticas de lo que yo pensaba, así que no entraré demasiado en lo que ES una función y simplemente os daré ejercicios. Pero, para los que no lo tengais muy claro, tengo que explicar unas cosas.

En términos matemáticos, una función es como una máquina porque solo hay un resultado posible según la “orden” que le des a la máquina. Imagínate tener una máquina eléctrica que acepte cualquier número que le metas, lo multiplique por dos, le sume tres a ese producto y entonces te de un resultado. Pues así es como funciona una función matemática. A esta función la podemos etiquetar “f” (digo etiquetar más que llamar porque ya sabeis que aquí no nos molesta eso de las etiquetas. Aquí no somos como en sitios web anárquicos y demás basura que dicen “aquí no hay etiquetas” o “no me pongas etiquetas”. Aquí por supuesto que vamos a poner etiquetas, porque todo tiene nombre. Bien, decía que a esa función la podemos llamar o etiquetar “f” y escribirla como f(x) = 2x + 3. Esta ecuación simple describe lo que os acabo de comentar. Donde veis la “x” es donde se pone el número que quieres que te de resultado, normalmente “y”. Por ejemplo, si te pregunto qué es f(2) simplemente enchufarías el 2 donde ves la x.
2(2) + 3 = 7.

Vocabulario importante:

El DOMINIO de una función consiste en todos los valores posibles que podemos enchufar en la función y que nos de resultado y el RECORRIDO de la función se refiere a todos los valores posibles que la función puede producir. Por ejemplo, considera la siguiente función:

f(x) = \frac{1}{x-3}

El valor x = 3 NO forma parte del DOMINIO de la función porque el denominador no puede ser cero. Cualquier otro número sí funciona, así que el dominio se dice que son todos los número reales menos 3. De igual forma, no existe ningún valor de x que haga que la función produzca cero. Por eso del recorrido se puede decir que son todos los números reales menos cero. Una función que solo puede producir números reales es, por supuesto, una FUNCIÓN REAL. Más adelante, si hay tiempo, podriamos ver funciones que sí pueden tener números no reales y dar resultados no reales o como dicen algunos, irracionales.

Una función sí puede tener múltiples valores para enchufar. Por ejemplo, considera la siguiente función:

g(a,b,c) = 3a - 2b + 7c^2.

1) Evaluar la función si g(3, -5, -1)

SOLUCIÓN:

Debes seguir el ORDEN dado para a, b, y c.

g(3,-5,-1) = 3(3) -2 (-5) +7(-1)^2 = 26..

2) Consigue el valor de b si g(b, 2, -1)

SOLUCIÓN:

No pocos alumnos obrarían de la siguiente manera:

g(b,2,-1) = 3(2) - 2b + 7(-1)^2 = -2b + 13.

Como buscamos el valor de b toda vez que -2b +13 = 21, y nos da b = -4.

¡No no no no! ¿Qué tiene de mala esta solución falsa?

Vemos el error enseguida si comprobamos:

Tenemos g(-4, 2,-1) = 3(-4) -2(2) + 7(-1)^2 = -9.

¡Pero nosotros queremos g(b,2,-1) =21. Mirando la solución falsa arriba, vemos que cuando conseguimos la expresión para g(b,2,-1), hemos programado para que a=2 y c=-1 y dejado la b tal y como está. Pero eso no es correcto. Eso no es lo que se hace. Así no se evalúa una función correctamente.

EL ORDEN ES IMPRESCINDIBLE.

Así entonces, la solución correcta es así:

g(b,2,-1) = 3b - 2(2) + 7(-1)^2 = 3b +3.

3b + 3 = 21 y así b = 6.

Solución final:

g(6,2,-1) = 21 se comprueba.

3) Supongamos que t(x) = ax^4 + bx^2 + x + 5. A y B son constantes. Consigue t(4) si t(-4) = 3.

SOLUCIÓN:

t(4) = 256a + 16b + 4 + 5 = 256a + 16b + 9.

Si podemos conseguir a y b, entonces podemos evaluar t(4). Solo nos queda ver la otra información que tenemos. Tenemos t(-4) = 3. En consecuencia:

t(-4) = 256a + 16b - 4 + 5 = 256a + 16b + 1.

t(-4) nos da 256a + 16b + 1 = 3, lo cual significa que 256a + 16b = 2. Desafortunadamente, esto no nos dice qué es a o b. Sin embargo, podemos mirar la expresión para t(4) y vemos que NO necesitamos a y b. Necesitamos 256a + 16b, y sabemos que eso nos da 2.

Tenemos entonces:

t(4) = 256a + 16b + 9 = 2 + 9 = 11.

MUCHO OJO CON LAS COSAS. A veces no es necesario evaluar cada variable para resolver un problema. Esto es aplicable a problemas de la política también: yo no necesito evaluar a toda persona ignorante para saber que con que haya una sola persona ignorante, la ignorancia entonces existe.

Bien, ahora pasemos a conseguir el dominio y recorrido de las siguientes funciones:

4) f(x) = 2x - 3

SOLUCIÓN:

Podemos enchufar cualquier número real a f. El dominio sería todos los números reales. También parece ser que cualquier numero real puede resultar de la función. Para demostrar que el recorrido de f son todos los números reales, mostremos que para cualquier número real “y”, podemos conseguir una x para que f(x) = y. Ya que aquí:

f(x) = 2x – 3, buscamos el valor de x para que 2x – 3 = y. Así entonces:

x = (y+3)/2. Para todo número real y, si dejamos que x=(y+3)/2, entonces tenemos f(x) = y. En conclusión, tanto el dominio como el recorrido de esta función son todos los números reales. Se utiliza el símbolo formal \mathbb{R} para indicar los números reales.

5) f(x) =  \!\sqrt{-2x + 7}

SOLUCIÓN:

La raiz cuadrada de un número negativo no es un número real, así que debemos tener: -2x + 7\geq0. Esto nos da x \leq 7/2. El dominio entonces son todos los números reales igual o menos que 7/2. En notación formal de intervalos, el dominio se escribe así: (-\infty,7/2].

Debemos comentar unas cosas más sobre esto:

Podemos saber que porque -2x + 7 puede resultar en cualquier número positivo, el recorrido de f son todos los números reales positivos. Podemos demostrar esto de forma explícita como hemos hecho en el problema anterior.

Podemos decir que y = f(x) = \sqrt{-2x+7}.

Entonces resolvemos esta ecuación por x según y.

Elevamos ambos lados de y= \sqrt{-2x+7} y en consecuencia: y^2 = -2x + 7. Resolvemos por x, restando 7 de los dos lados y dividimos por -2. x = (7-y^2)/2. Entonces para cualquier valor positivo de y, si permitimos que x=(7-y^2)/2, tenemos:

\frac{7-y^2}{2}

\sqrt{-2(\frac{7-y^2}{2})+7}

\sqrt{-7+y^2+7}

\sqrt{y^2} = y

Este último paso solo vale porque y es POSITIVO. Así podemos ver que todos los números reales positivos están en el recorrido de f, porque por cada valor poositivo de y, podemos conseguir una x que nos de f(x) = y. Ya que la raiz cuadrada de -2x + 7 NO puede ser negativa, no existen números negativos en el recorrido de f.

En conclusión:

[0,+\infty).

6) g(t) = \dfrac{2t}{t-1}

SOLUCIÓN:

No podemos tener t = 1 en el denominador de g(t). No existen otras restricciones. En consecuencia, el dominio son todos los números reales excepto 1.

El recorrido es algo más complicado. Dejamos que y = g(t) y entonces tenemos: y = \frac{2t}{t-1}.

Tenemos que buscar el valor de t. Hemos de multiplicar los dos lados por el denominador, porque bien sabido es que así cancelamos las fracciones. Tenemos entonces: $latex $yt-y = 2t$.

\frac{y}{y-2}

Para cualquier valor de y, menos 2, podemos utilizar esta ecuación para ver qué podemos meter en t para producir el resultado deseado. Para comprobar que 2 NO PUEDE ser parte del recorrido de g, nótese qué ocurre cuando intentamos resolver g(t) = 2. Tenemos 2t/(t-1) = 2. Si multiplicamos los dos lados por t – 1, tendriamos:

2t=2t-2, que claramente NO TIENE solución. Utilice la notación correcta para intervalos para concluir que el recorrido de la función es:

(-\infty,2)\cup(2,+\infty).

El símbolo \cup” que vemos en (-\infty,2)\cup(2,+\infty) significa “Ó”, entonces:

y\in (-\infty,2) \cup (2,+\infty) significa que y está en el intervalo (-\infty,2) Ó en el intervalo (2,+\infty).

Si está usted en mi clase y no pone la respuesta en la notación correcta de intervalos, SE RESTA PUNTOS aún cuando la respuesta sea “correcta”. Las formas también son importantes, la formalidad y la belleza en las matemáticas. Si no eres capaz de respetar esa belleza, estás faltando al respeto a los artistas matemáticos.

Permítanme entrar con más profundidad en este asunto:

La UNIÓN de dos intervalos consiste en todos aquellos números que estén en uno o ambos intervalos. Como acabamos de ver, utilizamos el símbolo \cup para mostrar la unión de dos intervalos.

La INTERSECCIÓN de dos intervalos consiste en todos aquellos números que se encuentren en ambos intervalos. Utilizamos el símbolo \cap para referirse a la intersección de dos intervalos. Por ejemplo, los números que están en el intervalo [3,7] y [5,11] produce el intervalo [5, 7] y por eso se escribe de la siguiente manera:

[3,7]\cap[5,11] = [5,7].

Sin embargo, los números que están en uno o en otro intervalo o que formen ambos intervalos, se escribe:

[3,7]\cup[5,11] = [3,11].

También tenemos una notación especial para decir “todos los números reales MENOS algunos valores específicos”. Podemos escribir “todos los números reales menos 2”, así:

\mathbb{R}\backslash\{2\}. Si queremos excluir más valores específicos, podemos simplemente listarlos dentro de las llaves. Por ejemplo, podemos escribir “todos los números reales menos 5, 6 y 7”, así:

\mathbb{R}\backslash \{5,6,7\}.

7) h(x) = 9x^2 + 4

SOLUCIÓN:

Aquí cualquier valor funciona. En conclusión el dominio: \mathbb{R}

En cuanto al recorrido, el cuadrado de cualquier número real siempre será positivo. Por eso la expresión en este ejemplo es positiva. Eso significa que el resultado debe ser igual o mayor que 4. Por eso entonces el recorrido de h es: [4,+\infty).
—————-
Bien, dicho todo esto, aquí van los ejercicios. A ver quiénes son capaces de resolverlos correctamente:

1) Supongamos que p(x) = 2\sqrt{x} + 3 pero que p(x) solo se define con el intervalo 4\leq x \leq 9

¿Qué es el recorrido de p?

2a) Determina el dominio de la siguiente función:

f(x) = \dfrac{\sqrt{2x-5}}{x-3}

2b) Determina el dominio de la siguiente función:

g(t) = \dfrac{2t-4}{\frac{1}{t} - \frac{1}{3t-4}}

3) Notemos que \dfrac{x^2-x}{x-1} = \dfrac{(x-1)(x)}{x-1} = x. ¿Son las funciones:

f(x) = \dfrac{x^2 -x}{x-1} y g(x) =x equivalentes?

4) f(x) = x^2-x-6

Determina el recorrido de f.

5) f(x) = \sqrt{4 - x} y g(x) = \sqrt{2x - 6}. Determina el dominio de f\cdot g y el dominio de f/g. Explica por qué estos dominios son diferentes.

6) Supongamos que t sea T(a,b,c) = 3a^b - c

a) Determina el valor de T(2,3,-5)

b) Consigue todos los valores de x para que T(x,2,6) = 21

7 comentarios

  1. Alexander · ·

    Hola Alfredo.

    Espero que esta vez no tenga tantos problemas colgando las soluciones.

    Nota: Los paréntesis () se refieren a intervalos abiertos.

    Dos.a) x pertenece a (5/2, infinito) – {3}

    Dos.b) t pertenece a todos los reales, excepto {4/3}

    Tres. No, porque Dominio(f)= Reales – {1]. En cambio, Dominio(g) = Reales

    Cuatro. El recorrido es de (-25/4, +infinito) (Tuve que usar segunda derivada, porque no me acuerdo cómo se hacía sin eso 😥

    Cinco. Dominio(f.g) = [3,4] , Dominoo( f/g) = (3,4]. Son diferentes porque en f.g x puede ser igual a 3, mientras que en f/g, x no puede ser igual a 3. Esto es porque g está en el denominador, y si x =3, entonces el denominador se vuelve 0, lo cual no tiene solución.

    Seis.a) T es igual a 29

    Seis.b) x igual a -3 o igual a 3.

    Saludos.

  2. Alexander · ·

    Corrección.

    Dos.a) era [5/2, infinito) – {3}

  3. ¡Hola Alexander!

    Gracias por participar. Te comento:

    ¿Has intentando la 1? Solo sale del 2 al 6.

    Te comento las expuestas:

    2a) Correcto.

    2b) Incorrecto — bueno, no incorrecto del todo, pero incompleto. Se restarían puntos por ese motivo.

    3) Correcto

    4) Está bien lo de la 2ª derivada, aunque hay un método más sencillo. Se puede hacer mediante la completación de cuadrados.

    5) Correcto.

    6a) Correcto.

    6b) Correcto.

  4. Alexander · ·

    Hola Alfredo

    Pensé que la uno estaba muy fácil, y prefería los que parecían más complicados para no perder tiempo. No me había dado cuenta de que tenía raíz cuadrada.

    UNo. x pertenece a [7, 9]

    Dos.b) t pertenece a los reales excepto {0} y {4/3]

    ¿Hay un método más sencillo para el 4 que la segunda derivada? Tal vez lo conocía hace tiempo, pero ya estoy muy oxidado 🙂

    Por cierto, recuerdo algunos problemas de encontrar límites sin usar derivadas. Esos sí eran verdaderos retos 🙂

    Saludos.

  5. Alexander:

    “UNo. x pertenece a [7, 9]”

    Sí, correcto.

    “Dos.b) t pertenece a los reales excepto {0} y {4/3]”

    Sigue siendo una respuesta incompleta, aunque ahora mejor que la primera.

    “¿Hay un método más sencillo para el 4 que la segunda derivada? Tal vez lo conocía hace tiempo, pero ya estoy muy oxidado ”

    Sí, tal y como te habia comentado: completación del cuadrado.

    Es decir:

    f(x) = x^2 - x - 6 = ( x - \frac{1}{2})^2 - \frac{25}{4}.

    “Por cierto, recuerdo algunos problemas de encontrar límites sin usar derivadas. Esos sí eran verdaderos retos”.

    Este fue un ejercicio en un examen del año pasado en clase de cálculo. A ver qué tal le parece para resolverlo:

    Demuestra que \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} (fg)(x) = \left(\lim_{x \rightarrow a}f(x)\right)\left(\lim_{x \rightarrow a}g(x)\right)

  6. Alexander · ·

    Alfredo.

    “Sigue siendo una respuesta incompleta, aunque ahora mejor que la primera.”

    Ya veo a mi yo de hace 15 años burlándose de mi por equivocarme dos veces con un problma semejante.

    Dos.b) t pertenece a los reales, excepto {0, 4/3, 2}

    Si no es eso, me pongo a estudiar funciones de nuevo 🙂

    “Este fue un ejercicio en un examen del año pasado en clase de cálculo. A ver qué tal le parece para resolverlo:”

    Encontrar límites sin usar derivadas era un reto incluso en la “cúspide de mi poder”. No hay comparación con mi actual yo, aunque intentaré resolverlo más adelante. Supongo que se tiene que usar delta y epsilon (mis viejos amigos hoy en día olvidados) ¿no?

    Saludos.

  7. Alexander:

    “Dos.b) t pertenece a los reales, excepto {0, 4/3, 2}”

    ¡Ahora sí! Completo.

    ¡Ah! Y esta clase magistral solo es un comienzo, porque hay más cosas y ejercicios en la próxima.

    “Encontrar límites sin usar derivadas era un reto incluso en la “cúspide de mi poder”. No hay comparación con mi actual yo, aunque intentaré resolverlo más adelante. Supongo que se tiene que usar delta y epsilon (mis viejos amigos hoy en día olvidados) ¿no?”

    Para este problema en concreto, sí, por supuesto que hay que usar delta y epsilon. Son buenos amigos…no se debe uno nunca olvidar de los buenos amigos y aliados.

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