A examen: Inecuaciones lineales

Pues bien, como veo que a la gente sí le ha gustado que trate temas matemáticos, os dejo con el “examen final” sobre el tema de inecuaciones lineales. Podéis dejar vuestras respuestas en el hilo, como siempre. Ya la semana que viene entraré en temática política, para variar y porque hay mucho más que decir sobre lo que ha ocurrido en los últimos días. Las agresiones del capital no pueden quedar impunes y el mundo está despertando cada vez más sobre el absoluto FRACASO DEL SISTEMA NEOLIBERAL REPUGNANTE que esclaviza a millones de seres humanos en el planeta. Me ha animado mucho ver la cantidad de jóvenes aquí que están rechazando los esquemas de las doctrinas neoliberales y que abogan por mayor solidaridad, igualdad, estado, y SOCIALISMO. Recordad siempre las palabras de Indalecio Prieto: “SOCIALISTA A FUER DE LIBERAL”. No se puede ser auténticamente liberal sin ser socialista y vice versa.

Aquí va el exámen final sobre los temas tratados en los últimos días.
————————————————————————————————————–
1) ¿Qué valores de “r” satisfacen la inecuación 2r - 4 \leq r + 7 < 3r -15?

2) ¿Qué valores de "x" satisfacen la inecuación x^2 + 3 < 12?

3) ¿Qué número es mayor: \left(\sqrt{82}\right)^{23} ó 3^{46}?

4) Supongamos que \dfrac{4}{2001} < \dfrac{a}{a+b} < \dfrac{5}{2001}.

Computa el número de valores integrales que \dfrac{b}{a} pueda tener.

5) Tiene x+y un valor máximo bajo las siguientes condiciones:

x\geq 0, y\geq 0, 2x+y < 8, x+2y < 10?

6) Consigue el valor máximo posible para a+b+c+d si b es un número entero positivo y a, b, c, y d satisfacen el siguiente sistema:

a + b = c
b + c = d
c + d = a

7) Para x, y, z, y w, y w\geq 0, computa el valor mínimo que pueda satisfacer el siguiente sistema:

y = x - 2001
z = 2y - 2001
w = 3z - 2001.

8) Busca el número entero menor que 3^{\sqrt{3}} sin utilizar la calculadora. Demuestra que tu respuesta es correcta. Demuéstralo en términos matemáticos.

FIN DEL EXAMEN

24 comentarios

  1. Alexander · ·

    Hola.

    No tengo mucho tiempo para escribir los pasos que he tomado para responder los ejercicios. Me limtaré a escribir las respuestas.

    1. Vacío. 2. 3. raíz(82)^23 es mayor

    4. b/a puede tomar 100 valores

  2. Alexander · ·

    2.

    5. x+y <6. Como es un conjunto abierto, no tendría un valor máximo, a menos que 5.99999….. sea finito.

  3. Alexander · ·

    6. a + b+ c + d= -5b. Si b>0 , entonces el valor máximo (aunque nunca lo toda) de la suma sería 0.

    ————————–

    7. Como w puede ser 0, el minimo de x + y + z es 5336

    La 2 es

  4. Alexander · ·

    La 2 es el conjunto abierto -3, 3

    Ya no sé cómo escribir la número 2 para que se muestre en wordpress 😦

    La 8 está interesante. No pude resolverlo.

    Saludos

  5. Muchas gracias por sus respuestas, Alexander.

    Casi todas sus respuestas son correctas menos la número 6.

    Con respecto a la 8, a ver si IOSEFF puede con ella.

    Saludos

  6. Ioseff · ·

    8. Tres elevado a la raiz cuadrada de 3 es lo mismo que decir tres elevado a tres elevado a un medio. Esto es lo mismo que decir tres elevado al producto de tres por un medio, que es lo mismo que decir tres elevado a tres medios. Esto se puede expresar como la raíz cuadrada de tres al cubo, que es igual a la raíz cuadrada de veintisiete, que es mayor que la raíz cuadrada de veinticinco y menor que la raíz cuadrada de treinta y seis, o sea entre cinco y seis, que son los dos números dentro del conjunto de enteros en el cual el resultado de la raíz cuadrada de veintisiete se encuentra. Como se pide el entero menor que ese resultado, dicho entero es CINCO.

  7. Incorrecto, Ioseff, lo siento.

  8. Ioseff · ·

    Que pena, pero querría saber entonces cuál es el razonamiento adecuado, o donde empecé a fallar (ya que intentarlo de nuevo no se puede… si es un examen claro)

  9. Por supuesto, Ioseff. Siempre os daré los razonamientos en las soluciones. De todas maneras, yo lo intentaría de nuevo y así quizá ha sido un error de computación o de lógica en alguna parte. No pasa nada por intentarlo de nuevo (si bien es cierto que al ser un examen, no cambiaría su nota final).

    Saludos

  10. Estudiante · ·

    jejeje legendarios son los exámenes de este señor. Señor Coll, ¿sería legítimo cambiar la potencia a una potencia con fracciones? Es que yo voy por el mismo camino de Ioseff, solo que he empezado así:

    x < 3 elevado a un medio…pero luego le dice al ingeniero IOSEFF que eso no es correcto. Por favor, ¿nos podría dar alguna pista matemática?

    Saludos

  11. Alexander · ·

    Alfredo.

    “Muchas gracias por sus respuestas, Alexander.

    Casi todas sus respuestas son correctas menos la número 6.

    Con respecto a la 8, a ver si IOSEFF puede con ella.”

    Qué raro que la 6 sea incorrecta y la 7 no lo sea. Ambos siguen el mismo patrón, así que esperaba que ambas estén correctas o incorrectas.

    Estoy tentado a buscar un libro que me ayude a resolver la 8, pero creo que no sería justo ver la resolución de un problema similar porque puede ser fácilmente generalizable.

    Saludos.

  12. Ioseff · ·

    es que incluso yendo por otro camino llego a la misma conclusión: Tres elevado a tres elevado a un medio es igual a veintisiete elevado a un medio, es decir, a la raíz cuadrada de veintisiete por lo tanto llego a la misma conclusión que el post anterior. Tiene que estar entre cinco y seis. Si se desarrolla un poco más, pues la raíz cuadrada de veintisiete es lo mismo que la raíz cuadrada del producto de nueve y tres por lo tanto el resultado es igual a tres por la raíz cuadrada de tres. Si aún así insistimos, entonces se suman sus exponentes y sería tres elevado a tres medios pero entonces ya sería lo del post anterior, es que está claro que estoy atascado, a menos que esto se trate de una prueba para hacerme dudar aun estando yo en lo correcto, que lo dudo.

    P.D: No soy ingeniero, dije que estudié ingeniería, cosa diferente. Obviamente fallé.

  13. Estudiante:

    A ver, efectivamente tratar con exponentes que son raíces puede llegar a ser complicado innecesariamente. Al menos, sí que supongo que habréis visto exponentes fraccionarios. Si se trata de un número entero menor que el del enunciado, pues…ahí lo dejo.

    Alexander:

    Puede vd consultar un libro si quiere, aunque no creo que le resulte de mucha utilidad porque es necesario tener un par de leyes lógicas muy asimiladas.

    Con respecto a la 6, quizá si utiliza el método de sustitución, algunas cosas interesantes pasarán.

    Ioseff:

    Dice usted que “tiene que estar entre 5 y 6″. Pero fíjese en mi pregunta: EL NÚMERO entero menor”. Yo le diré que sus instintos son correctos y sí se trata de algo “entre”, pero claro, usted dijo 5 en su respuesta y yo le digo que no, no es 5. Lo de 3 elevado a 3 medios es correcto en esa parte de su exposición y por eso le digo que va por buenos instintos, hasta que se atasca, efectivamente. Ahora sé dónde está su error.

    Y no, no es ninguna prueba para “hacerle dudar”.

    Ya, usted estudió ingeniería…AL MENOS NO ES ingeniero, pues eso sería peor.

    Saludos

  14. Cualquiera · ·

    No es lo mismo 3^(3/2) que 3^(1.7…), supongo que la raíz no afecta a la base,solo lo hace con el exponente. Según veo en internet el tema se llama exponentes sucesivos y hay que ir de 2 en 2 desde arriba hasta llegar a la base. La respuesta sería 6.

    Bastante dificil, no he podido con el problema 4.

  15. @cualquiera: no entiendo lo de ir “de dos en dos”. Con respecto a exponentes sucesivos, cual es su fuente? No es necesario complicarlo mucho.

    Por cierto IOSEFF, vd ha dicho entre el 5 y el 6, pero claro, entre el 5 y el 6 no hay ningun numero entero.

  16. Cualquiera · ·

    https://www.google.com/amp/s/matemathweb.com/algebra/exponentes-sucesivos/amp/

    Mi respuesta anterior creo está mal pues hice 3^(1.7) de forma incorrecta.

    En este video en el minuto 6:25, también dicen x^a^b es distinto a x^(a^b).

  17. Ioseff · ·

    Ya don Alfredo pero anteriormente SÍ DIJE QUE ERA CINCO como número entero MENOR, y me dijo que era incorrecto, entonces supuse que era algo de la metodología lo que estaba mal porque si no yo no lo entiendo. ¿Se refiere a número entero menor de cinco? Entonces sería cuatro, pero yo ya dije cinco anteriormente y especifiqué que hablábamos de cinco no como número real sino como número entero (no es lo mismo 5.0 que especifica el dominio real que el 5 que especifica el dominio natural)

    P.D.: Lo de ingeniería lo dije por el compañero que dijo “ingeniero IOSEFF”, y hombre, serlo no soy, nunca me gradué. Tampoco veo que hay de malo en SER ingeniero (otra cosa es lo que usted sí destaca que es la MENTALIDAD de ingeniero… que tristemente eso sí que no me gustaría serlo, pero bueno, yo que no me gradué no soy precisamente el más indicado para decir estas cosas, pero las digo aún así…)

  18. Ioseff:

    “pero anteriormente SÍ DIJE QUE ERA CINCO como número entero MENOR, y me dijo que era incorrecto”

    Y así es — 5 es incorrecto.

    “¿Se refiere a número entero menor de cinco?”

    No señor — me refiero a un número entero MENOR de 3 elevado a la raiz cuadrada de 3. No ha cambiado nada.

    Sí, sabía que vd no terminó la carrera y yo le confirmo que es mejor que haya sido así, por su propio bien más que nada. Hay cosas peores en la vida…creo que todos podemos ponernos de acuerdo aquí en que los títulos en “humanidades” son los más risibles.

    Saludos

  19. Cualquiera: Entiendo, sí. No obstante, usted al utilizar exponentes sin organizarlo con inecuaciones, ha tomado un camino que, aunque le da la respuesta correcta, es un camino innecesariamente largo porque es un poco como dar palos de ciego, al calcular las cosas de 2 en 2 desde arriba (como usted dice).

    No me ha gustado el video, por cierto. Son de los que llaman “POWER” (potencias) a los EXPONENTES, cuando matemáticamente siendo preciso, la POTENCIA es el RESULTADO de dicha operación.

    El problema radica en que, por lo que veo, muchos jóvenes alumnos NO tienen una sólida lógica de manipulación ALGEBRAICA.

  20. Ioseff · ·

    Don Alfredo, la información de mi carrera era para Cualquiera, que me consideraba ingeniero. No obstante recordé una anécdota más sobre “la mentalidad de ingeniero” y que viene, como no, de mi profesor de Cálculo. Resulta pues que un día vino un chaval con una duda, desesperado al parecer, porque los cálculos le daban una masa desproporcionada para unos planos de un objeto o algo así. Esto era un trabajo de FIN DE GRADO. Pero parece ser que este profesor de Cálculo, simplemente usando algo de lógica matemática, logró al menos reducir la masa por la mitad, dejando más factible el resto de cálculos (parecía insinuar que no todo acababa ahí, pero que gracias a reducirlo a la mitad se empezaba a hacer más factible quizás porque gracias a esa lógica se podría aplicar lo mismo en otras partes, aunque eso ya lo haría el alumno). Matemáticas al rescate je.

    No sabía que las consideraba usted Humanidades. De todos modos, la carrera de Historia también es de Humanidades, así como Filosofía o Filología, y como mínimo a la primera la tengo en altísima estima.

  21. Cualquiera · ·

    6. Valor máximo -5 .

    Despejo b = c-a, reemplazo b en la siguiente ecuación d= 2c-a, reemplazo d en la siguiente ecuación, se despeja que c= 2/3a.

    Reemplazo c en la primera ecuación y despejo b= (2/3)a – a luego b = (-1/3)a.

    Usando la tercera ecuación obtengo d = a- (2/3) = 1/3a.

    Para que se cumpla que b es un entero positivo se debe cumplir que c – a >= 1, que es igual a (-1/3)a>= 1, de donde se obtiene que a <= 3 ,es decir b es mayor o igual que 1 cuando a esta en el intervalo (-infinito,-3).

    Ya teniendo el dominio para el que se cumple que b es un entero positivo, reemplace los valores de a -3,-4,-5….. El valor máximo que se obtiene es -5.

  22. Cualquiera · ·

    a – (1/3)a + (2/3)a + (1/3)a = (5/3)a , una función lineal de con pendiente positiva, la gráfica de esta función muestra que el valor máximo para el intervalo (-infinito,-3], lo toma cuando a es igual a -3, reemplazando a se obtiene el valor maximo (5/3)(-3)= -5

  23. Gracias, “cualquiera”. Muy bien argumentado y correcta la respuesta.

    Saludos

  24. Cualquiera y Alexander:

    He aquí mi solución al 6.

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