Las inecuaciones lineales: Clase magistral

Antes que nada, gracias a todos los que participaron ayer en los comentarios resolviendo los 5 ejercicios. El nivel ha sido de gran calidad y eso tiene su mérito en los tiempos que corren. Os decía ayer que iba a hacer unas comparaciones con el libro “Matemáticas I” de la editorial Santillana, Serie Resuelve.

La lección sobre inecuaciones lineales de primer grado (recordad que una ecuación de primer grado siempre es lineal, a diferencia de las de segundo grado que son cuadráticas y se dibuja en forma parabólica) con una incógnita la encontramos en la página 50 del libro citado. Como viene siendo habitual en los libros de textos modernos, aunque parezca difícil de creer, la editorial Santillana solo le dedica UNA página (en realidad, una mitad de la página) a exponer qué es una inecuación de primer grado con una incógnita. Voy a copiar exáctamente lo que dice el libro y entonces entraré en la lección magistral de hoy.

Cito textualmente y los siguientes ejercicios son, repito, de la página 50.

“Una inecuación es una desigualdad que se compone de dos expresiones algebraicas separadas por uno de estos signos:

o ≥

Su solución está formada por todos los valores que hacen que sea cierta la desigualdad numérica.”

EJEMPLO:

Determina si x = 2 y x = -3 son soluciones de estas inecuaciones:

2x – 1 > 2
2 x 2 – 1 > asi que x = 2 es solución de la inecuación.

x^2 + 3x \leq 5

2^2 + 3 * 2 \nleq 1 así pues x = 2 NO es solución de la inecuación.

El caso de -3 NO es solucion en la primera inecuación, pero sí en la segunda.

Así es como lo explica el libro de Santillana, ¡¡sin más!!

Unos apuntes más de Santillana. Dice:

“Si multiplicamos una desigualdad por un número negativo, el signo de la desigualdad cambia.

2x ≤ 2

-1 * (2x) ≥ -1 * 2

Si en la inecuacion la desigualdad es ≤ o ≥, el extremo común de los intervalos siempre pertenece a la solución.

Dan un ejemplo más y entonces unos ejercicios sencillitos. El ejemplo es el siguiente:

Resuelve la inecuación con una incógnita \frac{1}{2}x - 4 \geq 3x + 1

PRIMERO. Se agrupan los términos con x en un miembro y los independientes en el otro miembro.

\frac{1}{2}x - 4 \geq 3x + 1 \rightarrow \frac{1}{2}x - 3x \geq 1 + 4 \rightarrow - \frac{5}{2}x \geq 5

SEGUNDO. Se despeja la variable x, teniendo en cuenta que si el coeficiente de la variable x es negativo, al despejar la desigualdad cambia de signo.

- \frac{5}{2}x \geq 5 \rightarrow x \lneq 5 \cdot (-\frac{2}{5}) \rightarrow x \lneq -2

TERCERO. Se escribe la solución de la inecuación.

\{X: -\infty < x \leq -2\} = (-\infty, -2]

Santillana ha escrito la solución utilizando notación de intervalos. Al menos le doy ese mérito. Sin embargo, ¡¡ahí termina!! No dice nada más. Le siguen unos ejercicios básicos y poco más. Ahora entremos en mi lección. Hoy hablaremos exclusivamente de inecuaciones de primer grado. Comparad mi forma de impartir esto con el libro de Santillana.
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Lección: Inecuaciones lineales

Al igual que en las ecuaciones lineales, podemos incluir incógnitas cuando tratamos INECUACIONES. Así, por ejemplo, x > 7.
Esta inecuación nos dice que x es mayor a 7. Es decir, x puede ser 8, 9, etc pero por supuesto NO puede ser -5. Podemos ver la solución a esto de forma gráfica tal y como podéis ver en la siguiente recta numérica:

Dibujamos un círculo abierto en x = 7 para dejar claro que 7 NO ES UNA SOLUCIÓN a la inecuación porque obviamente 7 NO es mayor que 7…a no ser que vivas en un mundo paralelo donde te inventas las normas como te da la gana, pero si eres de ese tipo de persona, mejor ya ve cerrando la página porque este no es tu sitio ni tu mundo. La parte negrita en la recta indica TODAS las soluciones posibles a la inecuación.

Al igual que utilizamos círculos abiertos para marcar los puntos finales de una desigualdad ESTRICTA como es x > 7, utilizamos círculos cerrados para marcar una desigualdad NO estricta como por ejemplo sería -3 \lneq x \lneq 5. Esta sería la gráfica de este ejemplo:

Los círculos cerrados en los puntos -3 y 5 indican que estos números SÍ son soluciones válidas.

Las soluciones a los problemas de inecuaciones deberían ser escritos utilizando la NOTACIÓN DE INTERVALOS. Por ejemplo, podemos utilizar la notación para escribir “todos los números igual o mayores a -3 e igual o menos que 5” utilizando el intervalo: [-3,5]. Nótese que siempre escribimos la solución más inferior primero. En este caso, -3. No sería correcto escribir [5, -3].

Usar esta notación para indicar que -3 \lneq x \lneq 5, escribimos x\in[-3,5], en el que “x\in” significa que “x está en”.

Para excluir un valor límite de un intervalo, utilizamos “(” para el límite inferior y “)” para el límite superior. Por ejemplo, la declaración matemática x\in(-3,5] significa -3<x \le 5 y y\in(-12.2,0) significa -12.2< y 7 como x\in(7,+\infty). El “(7” indica que ningún número equivale a 7 o menos en el intervalo. El “+\infty)” indica que el intervalo continua para siempre en dirección a la derecha. Esto es, no hay límite superior específico. Así, el intervalo (7,+\infty) significa todos los números mayores a 7. De igual forma, w \in (-\infty,-2] es igual a w\le -2. Nótese que siempre usamos “(” con -\infty y “)” con +\infty, en vez de “[” y “]”.

Varios ejemplos:

EJEMPLO 1:

¿Cuáles son todos los valores de x que satisfacen 3x - 7  \geq 8 - 2x?

SOLUCIÓN:

Sumamos 2x a los dos lados para arrejuntar todos los términos con x en el mismo lado…que en las matemáticas nos gusta lo que es igual, junto.

Ahora tenemos lo siguiente:

5x - 7 \geq 8.

Ahora debemos sumar 7 a los dos lados para seguir en nuestro proceso de aislamiento.

5x  \geq 15

Hay que simplificar esto dividiendo por 5 para reducir la fracción. Finalmente:

x \geq 3.

Podemos escribir esta solución utilizando la notación de intervalos: x\in[3,+\infty). También podemos ver su gráfica:

EJEMPLO 2:

Resolver las siguientes inecuaciones de primer grado:

(a) 2x - 9 \geq 7

(b) 4 - 3t + 7 < 5t + 19

SOLUCIONES:

(a) Sumando 9 a los dos lados nos da 2x\ge 16. Al dividir ambos lados por 2, tenemos x\ge 8. Utilizando la notación formal, escribimos: x\in[8,+\infty).

(b) Se puede simplificar el lado izquierdo y esto nos da 11-3t < 5t + 19. Recolectamos todos los términos semejantes con t en un lado y las constantes en el otro lado. Para ello, hay que restar 5t de los dos lados. Las inecuaciones son como las ecuaciones, muy igualitarias en la práctica. Esto es, si tratas a un lado de una manera, el otro lado lo exige también. Hay que mimarlas así. Finalmente, esto nos da -8t  -1. Utilizando la notación de intervalos, escribimos t\in (-1,+\infty).

EJEMPLO 3:

Resuelva la siguiente cadena de desigualdades:

2 + x > 5 - 3x > 8.

¡Anda! Pues no podemos hacerle frente a toda la cadena a la vez, porque si restamos x de TODAS las 3 partes para eliminar x al extremo izquierdo, entonces tendremos una x a la extrema derecha de la cadena. Me temo que esto va a ser como lo que pasa con los hombres que se enrollan en líos con más de una mujer. Se tendrá que lidiar con las dos de forma separada.

Primero, tenemos 2+x > 5-3x. Sumando 3x a los dos lados y restando 2 de los dos lados nos da 4x > 3. Si dividimos por 4, esto nos da x > \frac{3}{4}. Entonces, resolvemos 5-3x > 8. Restamos 5 de los dos lados y esto nos da -3x > 3, y si dividimos los dos lados por -3 esto nos da x  5-3x >8 son aquellos valores de x que puedan dar satisfacción tanto a 2+x >5-3x y a 5-3x >8.

Las soluciones entonces son x>\frac{3}{4} y x < -1. NO HAY soluciones de x que puedan satisfacer a las DOS inecuaciones, así que entonces no hay soluciones para esta cadena. Como muchas cosas en la vida, hay problemas que no tienen solución.

EJEMPLO 4:

Estoy pensando en un número. Tres más que el doble de mi número is menos que 17, pero al menos -1. Si mi número es un número entero, ¿cuáles son los valores posibles?

SOLUCIÓN:

Llamemos mi número “n”. La inecuación algebraica de lo que yo he dicho verbalmente arriba es 2n+3 < 17. Restando 3 de los dos lados nos da 2n<14, y si dividimos esto por 2 entonces tenemos n < 7. Ya que 3 más que el doble de mi número es por lo menos -1, debemos tener 2n + 3 \ge -1. Siendo así, 2n \ge -4, así que n \ge -2. Mi número debe satisfacer AMBAS desigualdades, así que los valores posibles de mi número "n", son todos aquellos números en: -2 \leq n < 7.

Ya que mi número debe ser un número entero, los valores posibles son: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, y 6.

Nótese que hacemos las mismas manipulaciones cuando resolvemos ambas desigualdades: restamos 3, dividimos por 2. De hecho, podríamos habernos enfrentado a las dos desigualdades a la vez mediante una cadena de desigualdades. La información dada al principio puede representarse con la siguiente cadena: -1 \leq 2n + 3 < 17.

Restando 3 de los dos lados y tenemos: -4 \leq 2n  < 14.

Dividiendo las dos partes por 2, nos queda: -2 \leq n < 7.

A ver si podemos utilizar esta táctica de "dos a la vez" (una orgía matemática) en el siguiente ejemplo:

EJEMPLO 5:

¿Qué valores de "x" es la cantidad 2\sqrt{x} - 3 entre 7 y 10\frac{1}{2}?

Empezamos por "traducir" la expresión verbal en una declaración matemática:

7 < 2\sqrt{x} - 3 < 10\frac{1}{2}

En realidad, hacemos lo mismo que si esto fuera una ecuación lineal "disfrazada" de otra cosa.

Podemos aislar el término \sqrt{x} (dejad que y = \sqrt{x}

Sumamos 3 a los dos lados.

10 < 2\sqrt{x} < 13\frac{1}{2}

Entonces dividimos por 2 y nos da como resultado:

5 < \sqrt{x} < \frac{27}{4}

Seguimos sin haber aislado la x. Sin embargo, x tiene que ser claramente POSITIVA y también lo son 5 y 27/4. Podemos elevar al cuadrado los dos lados de esta cadena sin cambiar los símbolos de las desigualdades:

25 < x < \frac{729}{16}

Escribimos la solución final en notación de intervalos (a mis alumnos les resto puntos si no me lo ponen en la notación exigida, ya que la falta de formalidad es una forma de faltar al respeto a la logica):

x\in\left(25,\frac{729}{16}\right)

Bien, ya hemos terminado la clase magistral por ahora. ¿Notais diferencias entre el tratamiento que le da Santillana al que le damos aquí? Los siguientes son ejercicios para los señores de ayer que dieron la talla. A ver si la pueden dar con los siguientes:
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1) A finales de enero del 2003, la población de mi pueblo era 11.212. La población de mi pueblo aumenta en 322 personas cada mes. ¿En qué mes por primera vez la población de mi pueblo supera los 15.000 habitantes?

2) ¿Cuál sería la longitud del intervalo de las soluciones para la inecuación siguiente?

1 \leq 3 - 4x \leq 9

3) Determina la cantidad de números positivos enteros que puedan satisfacer la siguiente inecuación. ¿Existe algún número entero negativo que también pueda satisfacerla?

\frac{1}{2} < \frac{n}{n+1}<\frac{99}{101}

4) ¿Cuál sería el número entero "K" más grande que cabría en la siguiente inecuación?

\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{1} \cdot\frac{1}{2} \cdot\frac{2}{3} \cdot\frac{3}{4} \cdots \frac{k}{k+1} \geq \frac{1}{8}?

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UN APUNTE FINAL MUY INTERESANTE:

El "infinito" es un concepto difícil de definir. Hablando muy a la "barra de bar", cuando utilizamos la infinidad en las matemáticas, estamos hablando de un número que es más grande que cualquier número específico que se te ocurra. La infinidad es el resultado del hecho que NO existe "el número más grande". Si pensáramos que un número fuese el más grande posible, entonces siempre podríamos sumarle 1 y tener un número mayor.

La idea del infinito ha provocado problemas en muchos matemáticos y filósofos. Por ejemplo, el filósofo griego Zenón de Elea, creó varias paradojas, una que dice algo como lo siguiente:

Suponiendo que quieres cruzar la calle. Para alcanzar el otro lado, debes ir a la mitad del camino cruzando la calle. Pero antes, debes caminar la mitad al punto que esté a la mitad del camino al cruzar la calle. Pero es que incluso antes de hacer esto, debes caminar la mitad a un punto que esté a un cuarto del camino al cruzar la calle. Ya que hay una infinidad de pasos, ¡¡no existe el movimiento!!

No descartes esta paradoja como una tontería. Es una cuestión fundamentalísima y clave en muchas cosas de las matemáticas sofisticadas.

38 comentarios

  1. Ioseff · ·

    Mi profesor de Cálculo decía que el infinito no es un número, es una tendencia. Y la verdad es que esto ayuda muchísimo a conceptualizarlo, sobre todo cuando ves las gráficas y tienes que hacer los límites verticales u horizontales.

    Respondiendo a sus problemas (aun cuando yo no era de esas ayer que respondió):

    1) Partimos de 11.212 y va aumentando en 322. Eso quiere decir que en diez meses, esto es, en noviembre, ha aumentado 3.220 y que entonces ya habrá llegado a 14.432, por ende no al siguiente mes (diciembre), sino al siguiente del siguiente (es decir, en enero del siguiente año) ya habrá superado los 15.000

    2) La inecuación ha de tratarse por partes (es decir, estudiando el límite inferior por una parte y el superior por otra) por lo tanto obtenemos que: -4x debe ser superior o igual (es decir, NUNCA ha de ser inferior) a -2 y NUNCA debe superar 6 y esto quiere decir que x es un intervalo CERRADO (es decir, ambos puntos INCLUSIVE) entre -3/2 y 1/2

    3) Bien, empezamos por el número positivo más elemental: 1… y de éste ya podemos comprobar que NO todos cumplen la inecuación que es un intervalo ABIERTO (es decir, ambos puntos EXCLUSIVE) y por ende contempla 1/2 como límite pero NO como punto cerrado sino abierto. De ahí a n se le dan sucesivos valores en el dominio NATURAL y sí que van cumpliéndose. Primero 2/3, segundo 3/4, tercero 4/5, y así sucesivamente hasta llegar a un punto que cumpla la inecuación por su límite superior. 99/101 es ligerísimamente superior a 98/100. Bien, yo podría haberme quedando calculando como tonto hasta obtener un número inferior a 98/100 donde el denominador es mayor al numerador en solo una unidad, pero en su lugar, como Gauss (aunque por supuesto no me comparo en genialidad) voy a “recortar” usando la lógica y esta es… ¿hostia qué es esto, que 98/100 es lo mismo que 49/50 y que 49/50 cumple la condición de n/(n+1)? Guau… magia… Por lo tanto, respondiendo a la pregunta, como 99/101 es ligerísimamente superior a 98/100 y por ende a 49/50 eso significa que 49/50 está incluido en la inecuación pero que 1/2 no lo está y por ende podemos concluir que 49-1=48 números positivos cumplen la inecuación.

    Si hay algún negativo, pues empezamos por el más elemental: -1… que ya te indica que el resultado será INFINITO así que no. Si le damos -2 entonces el resultado será 2, esto es, MUY superior (relativamente hablando) a 99/101, ¿y si es -3? Entonces 3/2. Y con -4 sería 4/3, y con -5 sería 5/4, y con -6 sería 6/5. Está claro que todo es superior a 1 pero, ¿y si le damos valores que se “aproximen” a menos infinito en el dominio ENTERO? Pues entonces si n=-98 el denominador seguirá siendo en valor absoluto menor pero como es negativo entonces el número en sí es mayor y el resultado positivo y por ende siempre superior a 1 (en este caso -98/-97). Es por esto que podemos concluir que NO, ningún número entero negativo cumple la condición, lo que (“is tantamount to” que dirían los anglófonos) viene a decir que todas las soluciones a la inecuación del dominio de números ENTEROS se encuentran en el dominio de números NATURALES.

    4) No entendí. ¿No querrá decir “mayor a” en lugar “menor a” 1/8?

  2. Ioseff · ·

    4) En cualquier caso, el número al que se refiere usted debe ser k=23 porque si se le dan mayores valores a k entonces a partir de ahí el denominador es superior a ocho veces el numerador, o sea que la sucesión resultaría no en 3/24 y por ende 1/8, sino en 3/25, 3/26, etc. las cuales son inferiores (si el signo puesto por usted es el correcto) a 1/8… pero entonces la inecuación se cumple A PARTIR de k=23, no antes.

  3. IOSEFF:

    Gracias por sus respuestas. ¿Ha estudiado vd matemáticas o alguna otra ciencia? En realidad nunca he llegado a saber (si no le molesta la pregunta) qué preparación académica tiene.

    Es interesante lo de que lo infinito es una tendencia. Efectivamente, es una idea. Depende mucho del contexto que estemos tratando, ya que hay varias respuestas, incluso es algo que puede ser indefinido.

    Voy a esperar a que otros respondan, por si discrepan entre ellos, aunque comentaré su metodología en cada uno (sin decirle todavía si su respuesta es correcta o incorrecta). Eso sí, que tomen nota que usted ha sido el primero en responder, así que eso ya en sí tiene su mérito en tanto que podría confirmar su dominio de los conceptos o no.

    1) Su conceptualización es correcta. Me ha parecido interesante su manera de verlo, aunque en mi caso yo siempre hago para ese tipo de preguntas concretas, me gusta representarlo en una ecuación. Veremos si con una ecuación da la misma respuesta. Cuando usted dice enero del siguiente año, ¿Se refiere a enero del 2004?

    2) Entiendo su argumento, pero me gustaría aclarar una cosa por si acaso: Usted dice entre -3/2 y 1/2. ¿Se refiere con eso a que la longitud sería entre esos dos números?

    3) Me ha gustado el rigor de su exposición. Luego veremos si su respuesta final es una buena consecuencia de su argumentación.

    4) Sí, disculpe. Sí debe ser “mayor a”. Lo he cambiado.

  4. Ioseff · ·

    Hombre creo que llegué a decir “Cálculo universitario” en algún momento en algún post del pasado… pero aquí viene el chiste: Es que este profesor de Cálculo, que explicaba con la teoría y la conceptualización de base, lo enseñaba en una escuela POLITÉCNICA… o sea, para alumnos de ingeniería (civil, industrial, etc) y aunque no me gustó como usted asume que un ingeniero es muy sobre la práctica y demás, la verdad es que, en mi experiencia, los alumnos eran muy pesados sobre querer más “práctica” en el sentido de que querían Cálculo para sus aplicaciones prácticas en la Ingeniería… así que tal vez tenga usted razón. Yo evidentemente era una excepción. Aunque mis profesores de Dibujo Técnico eran muy buenos explicando conceptos y siempre insistían en entender el concepto, por gráfica (nunca mejor dicho) que fuera la asignatura.

    Hmm, si hay varias pues espero ansioso a que discurramos sobre ello.

    Yo respondí primero hoy precisamente porque como ayer no pude responder primero ya me parecía una copia si yo respondía.

    1) Sí, puesto que cuando mencioné enero me refería al enero del 2003 que usted especificó en el ejercicio, y noviembre siendo diez meses después es consecuentemente el noviembre del mismo año y diciembre igual (si no, yo hubiera dicho no 10 meses y luego el siguiente, sino 22 meses), y por ende enero como respuesta es en 2004.

    2) Sí, dije que era un intervalo cerrado y no añadí excepciones dentro del mismo, es que como yo no tengo un teclado matemático, debo apoyarme mucho en la terminología y efectivamente, al no especificar la longitud, he dado lugar a malentendimiento. Para especificar: radio = 1 centro = -1/2

  5. Ioseff:

    Entonces, ¿debo deducir que vd es ingeniero? La verdad es que mi problema con los ingenieros (teniéndoles de alumnos) viene de lejos. Sería entrar en mucho detalle, pero digamos que gran parte del problema es ese – el querer tener soluciones “prefabricadas” y cuestionar las pruebas.
    Aunque es obvio que sería un error pretender hablar sobre todos los ingenieros del planeta, considero que el pensamiento detrás de las ingenierías es un pensamiento defectuoso. Rara vez he conocido a un ingeniero que tenga pensamiento abstracto o que pueda relacionar algo dentro de una estructura teórica. Como es natural en todas estas cosas, hay ingenieros que sí ponen más interés en las matemáticas (usted, suponiendo que sea ingeniero, parece ser parte de esas excepciones). Los teoremas son LA GARANTÍA de que algo pueda ocurrir o no.

    Es curioso el caso de su profesor. Es muy raro que un matemático imparta clases a ingenieros. Yo la verdad, y dicho casi con cariño, considero las ingenierias como una tontería si comparamos con las matemáticas, que son las verdaderamente capaces de hacer enunciados con gran potencial para el mundo del pensamiento.

    El gran matemático Robert Lee Moore llegó a decir que el trabajo de los ingenieros en matemáticas era más o menos equiparable al de un barrendero. No sé si llegar a ese extremo, pero el ingeniero suele ser aquél personaje que, cuando tiene un pequeño problema (y anda que tienen varios “pequeños” problemas), quieren tirarlo todo a la basura y renovarlo completamente. Yo sin embargo soy de los que, si se me rompe una tecla en el ordenador, la repongo, no me da la locura de comprarme uno nuevo. Lo siento pero son cosas que he de decir, pues honestidad ante todo.

    “1) Sí, puesto que cuando mencioné enero me refería al enero del 2003 que usted especificó en el ejercicio, y noviembre siendo diez meses después es consecuentemente el noviembre del mismo año y diciembre igual (si no, yo hubiera dicho no 10 meses y luego el siguiente, sino 22 meses), y por ende enero como respuesta es en 2004.”

    De acuerdo. Me lo imaginaba, pero quería estar 100% seguro. He tenido casos de alumnos que me ponen “el próximo mes” y como no siguieron las instrucciones de especificar, comprobé que tenian en mente otros años o incluso conceptos, por los cuales se les restó puntos, como es lógico.

    “2) Sí, dije que era un intervalo cerrado y no añadí excepciones dentro del mismo, es que como yo no tengo un teclado matemático, debo apoyarme mucho en la terminología y efectivamente, al no especificar la longitud, he dado lugar a malentendimiento. Para especificar: radio = 1 centro = -1/2”

    Vale, perfecto. Sí, a veces es muy difícil escribir las matemáticas en ordenador. Yo tuve que (como saben algunos soy una persona muy chapada a la antigua en todo) pero no iba yo a permitir que mis alumnos se escaparan en caso de que algún día tuviésemos una guerra o, cómo no, PANDEMIA y entonces hace un tiempo aprendí programación de lenguaje matemático a duras penas (mas que nada porque odio la programación y muchos se burlaron diciéndome que no se me iba a dar bien porque soy “una reliquia” y ya ven esos, no solo aprendí la programación sino que ningún alumno pudo escaparse del ámbito “online”).

    Saludos.

  6. Cualquiera · ·

    1. 11212+322*x >= 15000 -> x>= 11,76 Si x=1 es Febrero x=11,76 seria Enero del 2004.

    2. 1 -1/2 <= x , 3 – 4x x>= -3/2, [-3/2,-1/2] Longitud 1,5 – 0,5 = 1.

    3. 1/2 n > 1, (n/n+1) n = 1/8 -> k<= 23. El numero mas grande es 23.

  7. Cualquiera · ·

    3. (1/2) n>1 , (n/n+1) n<49,5 (1,49,5) Ningún numero fuera del intervalo satisface la inecuación. Numero de enteros 48.

  8. cualquiera2 · ·

    Mis respuestas no salen como las escribí la

    3. era 48 y ningún numero del intervalo satisfacía la inecuacion (1,49,5)

    4. Se cancelan numeradores y denominadores (3/k+1) <= 2, numero mayor 23.

  9. Cualquiera · ·

    Perdón, pero de nuevo escribí mal mi respuesta 4. Se cancelan numeradores y denominadores,se obtiene la inecuación (3/(k+1))>=1/8 -> 24>=k+1 -> 23>= k. El intervalo es (-infinto,23]. El numero mayor es 23.

  10. Gracias, “cualquiera”. Recibido y luego os daré los resultados.

  11. Ioseff · ·

    Hmm era un profesor de los varios que había en el Departamento de Matemáticas. La escuela era una politécnica y por ende, para ingenieros, pero a decir verdad los de ese departamento parecían matemáticos, no lo veo tan raro, yo imagino que es lo que hay en toda Escuela Politécnica (donde se hagan carreras universitarias).

    Ah y no, creí que que al decir que “nunca aprobé” (en el tema aquel donde el “lumbrera” vino a decir que usted era el responsable de un suicidio) quedó claro que la carrera no la superé. Efectivamente el plan Bolonia a mí me ha jodido… no lo digo por echar balones fuera (que ya oigo a neolibegales aborreciendo) sino porque precisamente este profesor de Cálculo y el de Dibujo Técnico se quejaban de la falta de horas a consecuencia de solo poder dedicar un semestre en lugar del año académico entero.

    Yo lo que dije sobre ingenieros es que no me gusta asumir las generalizaciones pero usted siempre apunta sobre las excepciones y claro, lo que me jode es admitir que, a nivel general, de digamos corriente social, efectivamente es lo que pasó en mi experiencia. Es como sobre los irredentos que hablamos en el otro tema: ¿Se puede hacer cambiar a gente que ha sido tan reacia contra los desfavorecidos de casi cualquier clase si han aceptado esa corriente (anti)social de pensamiento? No me gusta pensarlo pero quizás a nivel general es cierto lo que usted dice.

  12. Bien, contesto antes que nada para confirmar que el compañero IOSEFF ha respondido correctamente a los enunciados. Muchas gracias.

    @Cualquiera:

    1) Correcto

    2) Incorrecto.

    3) Correcto

    4) Correcto.

    Gracias por su participacion, Casi todas correctas, menos las 2.

    Saludos

  13. IOSEFF:

    “Hmm era un profesor de los varios que había en el Departamento de Matemáticas. La escuela era una politécnica y por ende, para ingenieros, pero a decir verdad los de ese departamento parecían matemáticos, no lo veo tan raro, yo imagino que es lo que hay en toda Escuela Politécnica (donde se hagan carreras universitarias).”

    Bueno, pues entonces parece que eran matemáticos aplicados.

    “Ah y no, creí que que al decir que “nunca aprobé” (en el tema aquel donde el “lumbrera” vino a decir que usted era el responsable de un suicidio) quedó claro que la carrera no la superé.”

    ¡Anda! Ahora caigo en la cuenta, es cierto, sí.

    “Efectivamente el plan Bolonia a mí me ha jodido… no lo digo por echar balones fuera (que ya oigo a neolibegales aborreciendo) sino porque precisamente este profesor de Cálculo y el de Dibujo Técnico se quejaban de la falta de horas a consecuencia de solo poder dedicar un semestre en lugar del año académico entero.”

    El Plan Bolonia ha sido un desastre y yo jamás lo he reconocido. “Americanizaron” las universidades españolas y eso me pareció un gravísimo error. Aquí hay universidades muy buenas donde funciona bien eso (depende mucho dónde), pero en el contexto español no tiene cabida alguna. El Plan Bolonia fue un grave atentado a los jóvenes (y a los profesores). Lástima que no hubo más resistencia en estos tiempos de gran pasividad. Jamás voy a tomar asistencia en mis clases, como si yo fuera un niñero o un secretario administrativo vulgar en alguna clínica del montón.

    “No me gusta pensarlo pero quizás a nivel general es cierto lo que usted dice.”

    Es que hay gente que vive tan anclada a una idea por algún trauma, que hasta rozan en algunos casos la enfermedad mental.

    Siempre le digo a mis estudiantes que la tolerancia hacia lo ambiguo es algo que demuestra tu madurez mental y psicológica. El mundo no es “blanco y negro”. Según todas las investigaciones seria en materia psicológica y psiquiátrica, los conservadores son justamente lo contrario: no toleran lo ambiguo y detestan tener que tratar cosas complejas. Por eso precisamente el tal Obama les parecía tan intolerable, ya que Obama, con todos sus defectos, era un pensador “complicado” y tenía la capacidad de ver las cosas desde muchas ópticas. Tampoco predicaba el miedo.

    Cuanto menos aventurera una persona, más conservadora y más dada a creer en miedos infundados.

  14. Alexander · ·

    Hola.

    1. 11272 + 322x > 15000

    x> 11.57 o redondeando x =12. A fines de enero del 2004 se estaría sobrepasando los 15000

    2. -2<-4x<6, -6/4<x<-2/4

    x está en el intervalo[ -1.5, -0.5]

    3. 1/2 < 1 – 1/(n+1) 1/8

    k < 23 (menor igual porque no pude escribir el signo)

    El número más grande que entra en la ecuación es 23

    Saludos.

  15. Alexander · ·

    Hola.

    1. 11272 + 322x > 15000

    x> 11.57 o redondeando x =12. A fines de enero del 2004 se estaría sobrepasando los 15000

    ——-

    2. -2<-4x<6, -6/4<x<-2/4

    x está en el intervalo[ -1.5, -0.5]

    ——–

    3. 1/2 < 1 – 1/(n+1) 1/8

    k < 23 (menor igual porque no pude escribir el signo)

    El número más grande que entra en la ecuación es 23

    Saludos.

  16. Alexander · ·

    3. 1/2 < 1 – 1/(n+1) 1/8

    k < 23 (menor igual porque no pude escribir el signo)

    El número más grande que entra en la ecuación es 23

    Saludos.

  17. Alexander · ·

    3. 1/2 < 1 – 1/(n+1) <99/101

    Haciendo lo mismo de arriba, n pertenece al intervalo [1, 49.5]

    Hay 49 números naturales que satisfacen la ecuación. No hay ningún número negativo que
    satisfaga la ecuación.

  18. Alexander · ·

    4. Los numeradores y denominadores se cancelan. Queda

    3/(k+1) > 1/8

    k < 23 (menor igual porque no pude escribir el signo). El número más grande que entra en la ecuación es 23

    .

  19. ALEXANDER:

    1) Buena ecuación representativa de la información dada.

    2) Correcto.

    3) INCORRECTO.

    La respuesta correcta es 48. Es cierto que que no hay ningún número negativo que pueda satisfacer la ecuación, pero la lista tiene los primeros 49 números positivos, salvo el 1!!

    Me explico:

    1<n < 49\frac{1}{2}. Así pues, los números enteros positivos que funcionan son:

    2, 3, 4, \ldots, 49

    4) Correcto.

  20. Aquí va otra para los señores participantes:

    Consigue todos los valores de x posibles para:

    \LARGE \frac{4x-5}{3x+5}\ge 3.

  21. Alexander · ·

    Alfredo.

    “3) INCORRECTO.”

    Sí, pensé que era menor igual, cuando era sólo menor. Obviamente en esa circunstancia, sólo hay 48 números.

    “Como viene siendo habitual en los libros de textos modernos, aunque parezca difícil de creer, la editorial Santillana solo le dedica UNA página (en realidad, una mitad de la página) a exponer qué es una inecuación de primer grado con una incógnita. Voy a copiar exáctamente lo que dice el libro y entonces entraré en la lección magistral de hoy.”

    Ese ejemplo es un patrón desagradable que encuentro en muchos libros, no sólo en Matemáticas, sino también en los libros de Econometría. Es como si muchos autores enseñaran para sí mismos, o simplemente les de flojera de explicar los fundamentos de manera detallada. Yo entiendo que un profesor NO puede resolver todos los ejercicios que pueden existir, y que el alumno debe poner de su parte, pero para que eso ocurra, el profesor tiene que asegurarse que el alumno entendió el fundamento del tema, incluso usando dibujos, ya que el cerebro parece procesar mejor una imagen que mil palabras. Yo lo uso en mis cursos de Econometría, y mis alumnos al menos entienden cómo funciona un proceso determinado de manera intuitiva.

    Por cierto Alfredo. No me considero un mal alumno de Cálculo y Ecuaciones diferenciales, pero el curso que me daba, y aún me da problemas es el Análisis Real, donde uno demuestra los teoremas que uno ha visto en Cálculo. El problema es que, como ese curso sigue un camino secuencial, muchas veces me he topado con errores ortográficos o al autor diciendo cosas como: “es obvio que esto es cierto, entonces …”, lo que me hacía abandonar la lectura del libro. ¿Sabes de algún libro de análisis real que no tenga tantos errores ortográficos, y que pueda ser seguido de manera secuencial? No me importa si me demoro, con tal que al final pueda decir que entendí finalmente ese tópico.

    Saludos.

  22. Ioseff · ·

    (4x – 5) es mayor o igual a (9x + 15)

    Cero es mayor o igual a (5x + 20)

    La incógnita x será mayor o igual a -4

  23. IOSEFF: Cuidado. ¿Está seguro de su conclusión? Es decir, ¿está usted diciendo lo siguiente? Así lo he entendido, pero querría aclararlo antes porque entonces me surge otra pregunta.

    ¿-4 \ge x?

  24. Ioseff · ·

    Pues sí que debemos aclararlo, porque Don Alfredo, yo he dicho que la incógnita x será mayor o igual a -4, esto es, en la inecuación que usted acaba de poner, si mantenemos el signo así, entonces los miembros están intercambiados: El primer miembro es x y el segundo es -4. No sé por qué se ha confundido usted pero gracias por preguntar antes de asumir que me equivoqué.

    O sea, que x es como mínimo -4

  25. OK, perfecto. No, simplemente porque me gusta mucho estar absolutamente “seguro” antes cualquier acusación posterior. Siendo así pues, siendo que comparto esto que usted dice sobre x como mínimo -4, entonces se me ocurre una pregunta para vd.

    ¿Qué conclusión entonces saca de que x es -4? Por otro lado, esto solo sería un caso.

  26. Cualquiera · ·

    No fui capaz de solucionarla, verifique mi solución con wolfram alpha. No se como obtener las dos raíces.

  27. ¿No decía yo que mis ejercicios son revienta Wolfram? Pues eso…yo diseño los ejercicios de tal manera que ni Wolfram pueda.

    Bien — dicho eso, no entiendo su comentario sobre “las dos raíces”. Con “raíces”, ¿se refiere a los valores posibles?

    Saludos

  28. Alexander:

    Gracias por la aclaración. Siendo así, entonces bien.

    “Ese ejemplo es un patrón desagradable que encuentro en muchos libros, no sólo en Matemáticas, sino también en los libros de Econometría. Es como si muchos autores enseñaran para sí mismos, o simplemente les de flojera de explicar los fundamentos de manera detallada. Yo entiendo que un profesor NO puede resolver todos los ejercicios que pueden existir, y que el alumno debe poner de su parte, pero para que eso ocurra, el profesor tiene que asegurarse que el alumno entendió el fundamento del tema, incluso usando dibujos, ya que el cerebro parece procesar mejor una imagen que mil palabras. Yo lo uso en mis cursos de Econometría, y mis alumnos al menos entienden cómo funciona un proceso determinado de manera intuitiva.”

    Sí. En efecto, no se trata de resolver todos los ejercicios posibles en un libro de texto, pero sí de dar un fundamento tan riguroso en sus argumentaciones, que dejen claro que si el alumno falla, es porque éste no aplicó todas las leyes lógicas impartidas. Con respecto a los dibujos, respeto a las personas que lo hacen, pero yo no soy dado a hacer mucho dibujo (porque no se me da bien pintar ni dibujar). Soy más de utilizar “las leyes algebraicas” pero explicadas hasta el detalles más mínimo y explicando el “por qué” de cada paso.

    Tampoco soy de usar “Power Point”. Como matemático puro, lo mío es pizarra y tiza, aunque a veces me tengo que adaptar a pizarras blancas y rotuladores, desafortunadamente.

    Análisis Real: Si no tiene problemas con el inglés, este es bastante bueno:

    Haz clic para acceder a TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF

    Otro muy bueno es este:

    Haz clic para acceder a principles_of_mathematical_analysis_walter_rudin.pdf

    Y, por supuesto, mi favorito, el de Hardy:

    Haz clic para acceder a 38769-pdf.pdf

  29. Cualquiera · ·

    Con raíces me refería a los valores numéricos que demarcan el intervalo, parece ser que confundí los conceptos inecuación y ecuación. Para resolver la inecuación use como guía el precalculo de Stewart.

    ((4x-5)/(3x+5)) – 3 >= 0 ; (-5x – 20)/(3x+5) >= 0 ; -5x-20=0 , 3x +5=0; x=-4 , x=-5/3; [-4,-5/3); -4,-3,-2.

  30. Ioseff · ·

    Pues… saco la conclusión de que se obtiene el valor mínimo de la inecuación, o en otras palabras, la inecuación existe en el dominio real a partir de x=-4

    “Solo sería un caso” bueno, si quiere que divague más, divagaré: a partir de x=-4, conforme x aumenta, el valor del primer miembro de la inecuación aumenta… hasta el punto ABIERTO de x=-5/3 aunque debo hacer notar que la inecuación en sí es continua, es solo que el valor de dicha inecuación tiende al infinito conforme se acerca a x=-5/3 POR AMBOS LADOS… pero la tendencia de la inecuación es siempre aumentar, esto solo sucede si, POR LA IZQUIERDA, aumenta el valor a infinito POSITIVO, pero por la derecha, tiende a infinito NEGATIVO. No obstante, la función siempre aumenta aunque haya un aparente salto de valor entre la izquierda y la derecha al punto x=-5/3, pero la inecuación también existe desde x=-5/3 (punto no inclusive) hasta el infinito.

    Por lo tanto, la función existe en el conjunto real desde x=-4 inclusive hasta el infinito, excluyendo por ambos lados el punto abierto de x=-5/3

  31. Alexander · ·

    Alfredo.

    Gracias por la recomendación de esos libros.

    “Con respecto a los dibujos, respeto a las personas que lo hacen, pero yo no soy dado a hacer mucho dibujo (porque no se me da bien pintar ni dibujar). Soy más de utilizar “las leyes algebraicas” pero explicadas hasta el detalles más mínimo y explicando el “por qué” de cada paso.”

    Creo que usé mál el término “dibujar”. Quise decir usar “gráficos” como los que has compartido de la recta numérica. Yo me acuerdo que, para entender cómo funcionaban las inecuaciones, dibujaba la recta numérica para sacarme de dudas. Hago algo parecido en mis clases de Econometría cuando un concepto es particularmente difícil de intuir con sólo palabras. Yo nunca fui bueno dibujando 🙂

    Saludos.

  32. @Cualquiera:

    Ah, entiendo. La verdad es que el libro de Stewart, aunque es muy popular, es bastante deficiente en varios conceptos. ¡Ya quisiera ser como el de Spivak!

    @Ioseff:

    Ahora sí quedo satisfecho con su exposición.

    ¡Ah! Cualquiera — se la soluciono a mi manera y así vd puede comparar con lo que ha hecho mal. Quizá esto le ayude:

    Podemos tratar este problema si movemos todos los términos a la izquierda y conseguimos el denominador común. Restando 3 de los dos lados y tenemos:

    \frac{4x-5}{3x+5} - 3 \geq 0.

    El lado izquierdo con denominador común nos da:

    \frac{4x-5}{3x+5} - 3 = \frac{4x-5}{3x+5} - \frac{3(3x+5)}{3x+5} =\frac{-5x-20}{3x+5}.

    Ahora nuestra inecuación es:

    \frac{-5x-20}{3x+5} \geq 0.

    El lado izquierdo equivale a zero cuando -5x-20=0, que resulta en x=-4. El cociente
    (-5x-20)/(3x+5) es positivo solo si -5x-20 y 3x+5 son positivos los dos o si los dos negativos. La expresión -5x-20 es positiva cuando x-4 y 3x+5 es positivo cuando x > -5/3 y negativo cuando x<-5/3.
    En consecuencia, las dos expresiones son negativas cuando -4<x<-5/3 y no existan valores de x que hagan que las dos expresiones sean positivas. Si juntamos:

    ,
    -4<x<-5/3 con la solución x = 4, vemos que los valores de x que satisfacen nuestra inecuación son:

    \boxed{-4 \leq x < -5/3}.

  33. Alexander:

    De nada.

    ¡Ah! Entiendo. Sí, las gráficas ayudan mucho pues en ese sentido.

  34. Joaquín · ·

    Estas son mis respuestas:

    1) Si a finales de enero de 2003, mi pueblo tiene 11212 habitantes, con un aumento mensual de 322 personas, 10 meses después,a finales de noviembre, la población sería aún de 14432 personas.Por lo tanto,la población de 15000 personas no será superada hasta finales de enero de 2004.

    2) 1<=3-4×<=9

    –4x<=2,nos da que X<=–1/2,esto es,<= –0,5.

    3–4x<= 9,con lo que x<=6/–4, esto es, x<= –1,5.

    X está comprendido en el intervalo –1,5 –0,5

    3) 48 es el número de positivos enteros que pueden satisfacer la inecuación planteada, toda vez que por encima del 49, la cantidad final obtenida supera 0,9801 y que debe tenerse en cuenta que el entero positivo 1 no cumple con la inecuación requerida dado 1/2 es IGUAL pero no MENOR a 1/2.

    4) El número K es 23, porque es el que cumple con la relación 3/24 ó 1/8. Números mayores darían una relación 3/25, 3/26, etc, que en cualquier caso serían menores que 1/8, y en ningún caso iguales o mayores.

    Saludos a todos

    PD: Me ha gustado mucho esa aportación final de la aporía de Zenpn de Elea,primer gran discípulo de Parménides.Esta paradoja expresa muy bien tanto la tendencia al infinito,como el hecho de que para Parménides el movimiento es incompatible con el "Eón" o Ente,distinto de las cosas corporales.Aristóteles fue el primero en establecer el matiz de que Ser y movimiento son compatibles,al ser este último un MODO DEL SER.El ser seguiría siendo uno e inmutable ,pero esto no sería compatible con la existencia de diferentes modos del Ser.

  35. Joaquín:

    1) Correcta

    2) Correcta

    3) Correcta

    4) Exacto, la clave está además en las fracciones, pues al final la primera serie se puede cancelar.

    Y sí, es una cuestión interesante. Hace años tuve un alumno muy cabezotas que decía sobre el infinito: ¡ es un número !

    Para darle de hostias, la verdad.

  36. Joaquín · ·

    Pues sí,es una verdadera animalada decir que el infinito es un número.¿Cómo va a ser un número algo que es indeterminado por definición propia?. Por eso se dice siempre aquello de “tiende a infinito…”.

    La Filosofía, con paradojas como la de Zenón de Elea sobre Aquiles y la tortuga resulta fundamental para expresar gráficamente conceptos tan complicados como éste.

    Otra cuestión metafísica es la del Tiempo.Cuando yo era pequeño me ponía a pensar que el pasado no existe como tal,mientras que el presente tampoco,puesto que una vez transcurrida una milésima de segundo o un nano segundo,ha dejado también de existir con lo cual viviríamos en una suerte de futuro continuo.De alguna manera esta,sin saberlo yo entonces, obviamente,esta sería una perspectiva heraclitiana,mientras que los que entienden que son pasado y futuro los que no existen (el futuro AÚN NO ES),y todo es presente,asumirían una perspectiva parmenidea.Al final,una y otra tesis resultan igualmente defendibles, dependiendo de la perspectiva.Y esto enlaza con lo que comentaba usted que no todo puede verse como blanco o negro. De ahí que por ejemplo me vea más como un “arqueofuturista” que como un conservador.

    PD: pues sí,hijos de puta defensores del Plan Bolonia.La filosofía es importante,por mucho que en la empresilla de marras “no te la pidan”.

  37. Joaquín:

    Exacto, “tiende a infinito”. Pero no, no había manera de que lo entendiera. Claro, al final le dije “si no estás dispuesto a aplicar las leyes lógicas en esta clase, véte dando de baja”. Así fue.

    “”Y esto enlaza con lo que comentaba usted que no todo puede verse como blanco o negro. De ahí que por ejemplo me vea más como un “arqueofuturista” que como un conservador.”

    Interesante lo que comenta sobre cómo vd veía el pasado y futuro, enlazando así con el arqueofuturismo. Yo creo que la esperanza para que haya un entendimiento real entre “izquierda y derecha” y así hacerle frente al neoliberalismo, es ir más allá de las divisiones tradicionales. Es decir, ni la derecha puede volver a las tradiciones del pasado, ni la izquierda puede ignorar absolutamente toda la naturaleza humana. Debemos, pues, aceptar la tecnología hasta cierto punto y las reformas sociales, pero sin el neoliberalismo. Es decir, para ser tolerantes, por ejemplo, no es necesario decir “refugees welcome” y acto seguido abrirle las puertas a millones de inmigrantes extranjeros. NO NO NO Y NO. Pero de igual manera, la derecha no debe escandalizarse con cierto grado de vulgaridad o chabacanería en las calles. Como en todo, ¿por qué no decirlo? Algo de componenda tendremos que aceptar, aunque esto le suene cínico a muchos.

    “PD: pues sí,hijos de puta defensores del Plan Bolonia.La filosofía es importante,por mucho que en la empresilla de marras “no te la pidan”.”

    Uysssh Juaaaquín pero ¿cómo dice eshho? ¿Y la libertá de empresa qué? ESTATISTA COMUNISTA.

  38. Joaquín · ·

    Alfredo:

    La vulgaridad y la chabacanería son inevitables en la sociedad. El problema de hoy día es que poco a poco se han imponiendo como algo “cool”, precisamente porque a los capitalistas y a los progres mundialistas les interesa para así manejar a los borreguitos a su antojo. En una sociedad jerárquica y a la vez fáustica o progresista, la vulgaridad y la chabacanería seguirán existiendo, pero de una manera mucho más matizada y diluida.

    Jejejeje, uy,claro, si me opongo al plan Bolonia es que tengo la intención de montar un Sovjós o una comuna camboyana. Por cierto, los que auspician el Plan Bolonia, que han llegado a decir que tener cultura no es tan importante porque ahora todos los contenidos están en Internet (sic)se parecen mucho a los khmeres rojos, que odiaban la cultura por parecerles algo “extranjero”, matando a los que supieran idiomas occidentales o a los que llevaban gafas por parecerles “intelectuales”. Unos y otros quieren convertirnos a todos en bestias de carga.

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