La desigualdad matemática: Introducción a las inecuaciones (Clase magistral)

Estimados señores lectores: A lo largo de los años, son muchos los que me han rogado de vez en cuando colgar aquí para mis lectores algunas de mis “famosas” lecciones matemáticas que llevo años recopilando y comentando para cientos y cientos de estudiantes que han tenido el honor de haber pasado por las puertas de mi aula. Aunque es obvio que no todos vosotros sois matemáticos y seguramente tampoco os interesa estudiar matemáticas, creo que ya va siendo hora de hacer un buen repaso de algunas cosas que veo y me irritan en los libros de textos actuales. Para hacer esta primera lección lo más “accesible” posible para principiantes, es necesario tener un contexto. Por eso, voy a comparar mi lección haciendo comparaciones puntuales con el libro de texto de matemáticas que es actualmente el utilizado por la mayoría de estudiantes en España. Se trata del libro de texto de la editorial SANTILLANA, de la Serie resuelve, para 1º de Bachillerato. Utilizo esta edición específica por si quereis comprobar mis referencias bibliográficas.

Esta clase magistral me vino a la mente porque en el hilo anterior, algunas personas trataron el tema de la igualdad y un comentarista dijo que “no se puede igualar lo que no es igual”. El filósofo alemán Nietzsche le daría la razón, ya que llegó a decir “nunca iguales lo que no es igual”. Pero, ¿es cierto siempre y sobre todo, para las matemáticas? Veremos hoy muchos conceptos.

Antes que nada, os diré que los libros de texto en matemáticas de hoy en día en gran parte de Occidente son un auténtico desastre vergonzoso y nada riguroso. De hecho, en este sentido España incluso sale mejor parada que EEUU, ya que al menos el libro de la edición Santillana tiene ejercicios bastante más rigurosos si comparamos con ub libro de text estándar de matemáticas en EEUU. La razón de ello se debe a múltiples problemas políticos que no voy a tratar aquí porque es irrelevante a la lección en sí. Hay que mencionarlo, no obstante, porque si estudias matemáticas en el clima actual, verás que la lección que te daré aquí te va a dejar un poco alucinado por cosas que muy probablemente, tu libro de texto OMITE o incluso, ni siquiera tu profesor lo sabe. En el caso de España, la ventaja es que (según tengo entendido actualmente sigue así) un profesor de matemáticas debe ser MATEMÁTICO. NO es el caso en EEUU. Aquí hay profesores de matemáticas que en realidad lo que tienen es una licenciatura en “educación matemática”, PERO NO ES LO MISMO a ser matemático, como le tengo que recordar una y otra vez a mis alumnos universitarios cuando pisan mi aula y me preguntan horrorizados cosas tipo, ¿¿pero cómo que un exponente no es una potencia??” PUES NO ES UNA POTENCIA, ES UN EXPONENTE (o si se prefiere, ÍNDICE). MUCHO CUIDADO JOVEN…y ahi es donde me doy cuenta de las barbaridades que algunos profesores de secundaria enseñan. Aquí existen incluso dispositivos mnemotécnicos como el famoso PEMDAS, que me escandaliza. “PEMDAS” significa “PARENTHESIS, EXPONENTS, MULTIPLICATION, DIVISION, ADDITION, SUBTRACTION”. Lo utilizan para enseñarle a los alumnos la orden de operaciones (lo que yo llamo la JERARQUÍA de operaciones) y cuando ven que su querido pemdas no funciona en mis ejercicios de jerarquia de operaciones, alucinan en colores y me dicen “me siento estafado por mi colegio de secundaria”. Pues sí chaval, te estafaron pero bien, gracias a políticos incompetentes. En fin, no doy más la chapa con esto porque sé que siempre hay gentuza que me acusa de “politizarlo todo”.

Bien. Antes de entrar en las comparaciones con Santillana, es necesario que os de un buen repaso de lo que son las desigualdades matemáticas. Mucha atención a mi texto porque le seguirán ejercicios obligatorios si queréis que escriba la segunda parte de la entrada.

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La mayoría de los que se acuerden algo de matemáticas, recordarán expresiones que son iguales. Normalmente, las igualdades se escriben como ecuaciones lineales o no lineales, pero tienen el símbolo de la igualdad. Así pues, 2 + 7= 9. 2 mas 7 es IGUAL a 9, solo que escrito de otra manera. Hoy vamos a tratar cosas que no son iguales. Si sabemos que una expresión es mayor a otra, escribimos la inecuación de esta manera: 2 + 7 > 5. El símbolo > nos dice que 2 + 7 es mayor a 5. También podriamos escribir esta relación con el 5 en la izquierda: 5 < 2 + 7. En palabras, esta inecuación nos dice que 5 es inferior a la suma de dos mas siete. Estas inecuaciones son conocidas (si eres culto en las matemáticas) como “inecuaciones estrictas” ya que un lado debe ser necesariamente mayor o inferior al otro lado. También podemos hablar de inecuaciones NO estrictas, en las que un lado es IGUAL O MAYOR al otro o MENOR O IGUAL al otro. Por ejemplo, 5 – 3 ≥ 2. El símbolo es “igual o mayor que”. De esta explicación, os comentaré/contestaré 8 preguntas (que contienen varias partes) y entonces os dejaré los ejercicios. 1. Luis es más alto que Jaume. Jaume es más alto que Viçent. ¿Es Luis más alto que Viçent? Sí, por supuesto. Ya que Luis es más alto que Jaume, se da por sentado que Luis es más alto que cualquiera que sea incluso más bajito que Jaume. Ya que Viçent es una de esas personas, sabemos que Luis es más alto que él también. Si a > b y b > c, ¿es a > c? Recordad que cuando el símbolo apunta a la derecha, significa “mayor a”, por razón de la recta real numérica.

Aquí se razona exáctamente como en el primer apartado de esta pregunta inicial. A es máyor a B y B es mayor a C. Se da por hecho entonces que A tiene que ser también mayor a C. Esto lo podemos ver en la siguiente recta numérica:

A es mayor que B (por eso está a la derecha de B) y lo mismo pasa con la b respecto a la c. B es mayor a C, por eso B está a la derecha. Podemos juntar todo esto y formar lo que se llama una “cadena de desigualdades”: a > b > c.

Si a > b y b < c, podemos saber si a o c es mayor? Si a > b y c > b, ¡entonces no sabemos cómo relacionarnos con la a o la c! Por ejemplo, podríamos tener a = 3, b = 2, y c = 4, mirad lo que tendriamos: (3 > 2, 4 > 2), lo cual nos daría c > a (4 > 3). Ó, también podriamos tener el caso de a = 4, b = 2, y c = 3.

(4 > 2, 3 > 2), lo cual nos daría c < a (3 < 4)!! MUY IMPORTANTE: Si a > b y b > c, entonces a > c. Con la misma lógica, si a ≥ b y b ≥ c, a ≥ c.

Bien. Pasemos a la Segunda pregunta. ¿Qué pasa? ¿Creeis que ya está y listo? No, no, no, aquí nos tomamos muy en serio los temas como para despachar las cosas con rapidez y superficialidad.
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2. Bill Gates tiene más dinero que Warren Buffett. Si los dos ganan un premio de 100 millones de dólares, ¿Bill Gates seguirá teniendo más dinero que Buffett? ¿Y si los dos aportan 100 millones de dólares a nuestro proyecto de Liberalismo Democrático? ¿Cual de los dos tendrá más dinero?

Si los dos ganan un premio de 100 millones de dólares, los dos van a tener el mismo aumento sobre el dinero del que YA disponian. Siendo así, la diferencia seguirá entre los dos. Es decir, Gates seguirá teniendo más dinero que Buffett.

Con la misma lógica, si los dos nos dan a nosotros 100 millones de dólares (una idea estupenda, porque nosotros creemos en cierta redistribución de la riqueza) seguirán siendo diferentes. Gates seguirá siendo más rico que Buffett (pero eso sí, podriamos hacer cosas impresionantes desde Liberalismo Democrático con ese dinero…incluido la completa destrucción de medios libertarianos y anarcocapitalistas).

¿Cuál de las dos es mayor — 7 + 2 o 5 + 2? ¿7 – 9 o 5 – 9? Para cualquier número “a”, ¿cuál es mayor, 7 + a o 5 + a?

Dejemos que x > y, a > b y c > 0. Expliquemos por qué x + c > y + c.

Ya qye x > y, sabemos que la x debe estar a la derecha de y en la recta real. Cuando sumamos c a cada una, nos movemos en pasos c a la derecha. En otras palabras, x + c y y + c están a c pasos a la derecha de x e y, respectivamente. Así como demuestra mi gráfica siguiente:

Explica por qué x – c > y – c.

Restar es ir a la izquierda en la recta numérica. Funciona igual que sumar, solo que vas en sentido izquierda. Así:

Explica por qué x + a > y + b.

Si podemos sumar ecuaciones, también podemos sumar inecuaciones. Si x > y a > b, (a y b son positivos). Siendo así, sabemos que x está a la derecha de y y sumarle a lo mueve más a la derecha. Es decir, como x es mayor a y, está más adelantado en la recta si se compara con y. X ya empezaba con ventaja respecto a y, por eso x + a está más a la derecha que y + b. Matemáticamente, pues,

x + a > y + b.

Así pasa en la vida también: hay quienes nacen con ventajas que otros no tienen y se acercan más así a la prosperidad. No existe la igualdad de oportunidades realmente.

También hubiesemos podido razonar esto sin recurrir a la recta numérica. Sabemos que x > y, asi que x + a > y + a. Sabemos que a > b, asi que si sumamos y a los dos lados nos da y + a > y + b. En consecuencia, x + a > y + a > y + b.

Nótese que 7 > 5 y 3 > 2 y que 7 + 2 > 5 + 3. ¿Es siempre verdadero que si x > y y a > b, entonces x + b > y + a?

¡PUES NO! Nótese que 9 > 8 y 5 > 2, pero 9 + 2 NO ES > 8 + 5. Si lo único que sabemos es que x > y o a > b, no podemos saber cual es mayor, si x + b o y + a. ¡A lo mejor hasta son iguales!

Como podeis ver, Nietzsche era interesante, pero desde luego a pesar de su amor por las matemáticas (bueno, admiración más bien, parece que se saltó el capítulo de inecuaciones…o quizá no y le daba igual).

IMPORTANTE:

Si x > y, entonces x + c > y + c para cualquier número real c. Si también tenemos a > b, entonces x + a > y + b.

Bueno, ya hemos abordado la suma y la resta de inecuaciones a nivel más básico (porque en la segunda entrada hay mucho más que comentar).

Ahora entremos en la multiplicación y división.

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3. Si x > y, ¿es verdad entonces que xa > ya?

Debemos demostrar algo sobre los productos. Lo único que sabemos sobre productos e inecuaciones es que el producto de dos números positivos siempre es mayor a 0. Veremos si podemos utilizar ese concepto.

Ya tenemos un número positivo: a. Como x > y, podemos restar y o sumar (-y) a los dos lados de la inecuación para obtener:

x – y > 0. Dáte cuenta que x – y es otro número POSITIVO. El producto de los números positivos a y (x – y) es positivo, así que tenemos:

(x – y)a > 0. Ampliando el lado izquierdo utilizando las leyes de distribución, tenemos: xa – ya > 0. Sumando ya a los dos lados:

xa – ya + ya > 0 + ya ——- xa > ya.

¡Por fin! Ahora podemos tener la prueba para nuestras leyes de productos y cocientes de las inecuaciones:

Si x > y siendo también a > 0, entonces xa > ya. Si x ≥ y (a mayor que 0), entonces xa ≥ ya.

4. Supongamos que x, y, a y b son todos números positivos, y que x > y y a > b. ¿Es verdad entonces que xa > yb?
¿Es verdad que x/a > y/b? ¿Y si nos permiten que nuestras incógnitas sean negativas?

A nivel intuitivo, parece claro que xa > yb, ya que multiplicamos dos números “grandes” y dos números “pequeños”. Podemos utilizar el resultado del problema anterior para ver que xa > ya y ya > yb. Colocando xa > ya y ya > yb juntos nos da:

xa > ya > yb. Siendo así, xa > yb.

Si dejamos que CUALQUIERA de estas incógnitas sea negativa, entonces no podemos decir nada en general sobre xa y yb, porque cualquiera de los dos productos puede ser negativos.

Tampoco podemos concluir que x/a > y/b. Por ejemplo, supongamos que x=4, y=1, a=7 y b=1. Siendo así, x > y, a > b. Pero entonces, x/a es mayor a y/b.

IMPORTANTE:

Si x > y > 0 y a > b > 0, entonces xa > yb. Si x ≥ y > 0 y a ≥ b > 0, entonces xa ≥ yb.

Bien, ya con esto liquidamos la multiplicación y la división de números positivos. Hemos visto que debemos tener mucho cuidado cuando tratamos con números negativos (al igual que cuando tratamos con personas negativas y antisociales que ponen en peligro el ordenamiento del estado social).

¿Qué podemos decir sobre la multiplicación y división de números negativos?

5. Si x > y con a < 0, ¿qué podemos sobre las cantidades xa y ya?

Podemos intentar algunos ejemplos. 7 x (-4) = -28 y 5 x (-4) = -20. Siendo así, 7 x (-4) < 5 x (-4). ¡Anda! ¿Qué ha pasado? Al parecer, cuando multiplicamos una inecuación válida por un número negativo, ¡tenemos que REVERTIR el símbolo! Podemos pensar que si x > y y a < 0, entonces xa < ya. A ver si podemos explicar por qué esto es cierto. A estas alturas, todos debéis saber (y si no lo sabes, no deberías estar ingresado en la universidad sino en primaria), que el producto de un número positivo multiplicado por un número negativo es NEGATIVO. Por el hecho de que x > y, tenemos x – y > 0. Así que a es negativa y x – y es positivo. Entonces el producto (x-y)a es negativo, lo cual significa:

(x-y)a < 0
xa – ya < 0
xa < ya Bien, ya sabemos multiplicar o dividir una inecuación por un número negativo.

6. Si a es un número positivo, ¿qué es mayor? 7 elevado al a o 5 elevado al a? Ya hemos visto que si x > y > 0 y que a > b > 0, entonces xa > yb. Aquí, tenemos 7 > 5 > 0 asi que 7 x 7 > 5 x 5. Por esa razón,

Si a es un número positivo que no sea 1, ¿qué cantidad es mayor de las siguientes?

ó

Bueno, esto parece mucho a lo anterior. Aquí tenemos que usar las leyes de las potencias.

7. Luego está el hecho de que si x es un número real, entonces x elevado al cuadrado siempre será igual a 0 o mayor. Esto se llama una inecuación “trivial”. Como muchas ideas sencillas, también es muy poderosa. La exploraremos con más detalle en otro momento.

8. Supongamos que x e y son números positivos tales que x > y. ¿Qué cantidad es mayor? ¿1/x o 1/y? ¿Y si y es negativo y x es positivo?

Experimentemos.

Sabemos que 7 > 5 y que 1/7 4/3 y que 2/5 -1/2 y 1/5 > -2, así que claramente no siempre revertimos la inecuación cuando tomamos la inversa de los dos lados. La diferencia en este ejemplo es que un lado es positivo, otro negativo.

Hemos demostrado, pues, que si tomamos la inversa de los dos lados de una inecuación, REVERTIMOS el símbolo si los dos lados son POSITIVOS.

¿Qué os ha parecido mi clase magistral? Dejad vuestros comentarios (positivos o negativos)…pero creo que he sido riguroso y absolutamente más detallado que cualquier libro de texto de esta época.

Os dejo con 5 ejercicios.
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1. Si x ≤ y y x ≥ y, entonces ¿qué vale x – y?

2. Si a ≥ b y b > c, entonces ¿es cierto que a > c? ¿Es posible que a = c?

3. Suponed que x > y > 0 y que a > b > 0. ¿Es cierto que x/b > y/a? Si es así, ¿por qué? Si no es así, aporta un ejemplo en el que
x/b ≤ y/a y x > y > 0 y a > b > 0.

4. Suponed que x < y < 0. Demuestra que 1/x es inferior a 1/y.

5. Suponed que x > y > 0 y a es un número entero NEGATIVO. ¿Qué cantidad es mayor? x elevado al indice a o y elevado al indice a?

27 comentarios

  1. *Podeis poner vuestras respuestas en este mismo hilo. Por favor no enviarme nada ni mucho menos documentos adjuntos. No es necesario para estas preguntas.

  2. Alexander · ·

    1. x-y=0

    2. a>c. a no puede ser igual a c.

    3. x/b > y/a correcto. Si a, b son >0 y a>b, entonces ab>0. Dividiendo a>b entre ab tenemos 1/b>1/a. Multiplicando esta desigualdad con x > y > 0 tenemos x/b > y/a.

    4. Sería parecido a 3.

    Saludos

  3. Hola Alexander:

    Se te ha olvidado la 5a pregunta, pero muy bien en las primeras 3. Todo correcto y bien argumentado (sobre todo la 3). En que seria “parecido” a 3 la pregunta 4?

    Saludos

  4. Alexander · ·

    Creo que leí mal el ejercicio 4, y ni siquiera vi el 5.

    4. Está mal. Debe ser 1/y y > 0. Entonces si definimos b= -a, b>0. 1/x < 1/y, entonces (1/x)^b < (1/y)^b, que es lo mismo que x^a< y^a

  5. Alexander · ·

    No sé qué pasó en mi comentario anterior que se mezcló mis respuestas.

    4. Está mal. Debe ser 1/y y>0. Entonces si definimos b= -a, b>0. 1/x < 1/y, entonces (1/x)^b < (1/y)^b, que es lo mismo que x^a< y^a

  6. Alexander · ·

    No sé qué pasó en mi comentario anterior que se mezcló mis respuestas.

    4. Está mal. Debe ser 1/y < 1/x

  7. Alexander · ·

    4. Está mal. Debe ser 1/y < 1/x

  8. Alexander · ·

    El wordpress no n¿muestra mi resolución de forma ordenada. De nuevo.

    4. Está mal. Debe ser 1/y < 1/x

  9. Alexander · ·

    5. x>y>0. Entonces si definimos b= -a, b>0. 1/x < 1/y, entonces (1/x)^b < (1/y)^b, que es lo mismo que x^a< y^a

  10. Ah, comprendo…a veces el wordpress no lee bien el código, efectivamente.

    Sí, ahora la 4 es correcta.

    5. Correcto.

    ¿Qué le ha parecido mi forma de exponerlo? Me refiero, desde un punto de vista “alumno”, ¿cree que entro en más detalles que el libro de texto contemporáneo que vd conozca?

  11. Alexander · ·

    Alfredo.

    Esos temas los he visto hace casi dos décadas atrás. Y recuerdo que no entendía esas reglas al principio. Me tomó bastante tiempo entenderlas de manera plena. Tu explicación es más detallada y hace que la “curva de aprendizaje” sea menor.

    Para ampliar este tema, aunque no venga al caso. Yo soy profesor de Microeconometría y Macroeconometría en la universidad. Mis alumnos han llevado previamente Econometría I y II. El problema es que la Econometría no es sólo matemáticas. También es un arte que uno aprende sólo con la práctica y, en especial, comprender de manera plena los supuestos básicos, que los “cerebritos” que les gusta las matemáticas pueden considerar molestos porque son sólo “palabras huecas”. El problema es que, si no sabes los supuestos básicos, puedes conseguir respuestas totalmente absurdas, sin importar que todos los pasos matemáticos hayan sido corrctos. He conocido incluso profesores que estiman modelos sin ningún fundamento econométrico, y que publican sus hallazgos en artículos. No quiero ni imaginarme si pasa lo mismo en economistas que ocupan posiciones importantes. Por eso, yo prefiero reforzar los supuestos básicos que los alumnos han visto anteriormente, y darles sentido concreto. Al menos así pueden saber si su modelo cumple los requisitos para ser considerado como válido o no. No me impresionan los que se han leído 500 libros de Álgebra Lineal, y que puedan resolver cualquier problema de matrices, ya que los programas econométricos, a menos que seas un Von Neumann, siempre serán más rápidos que ellos. Por fortuna, también enseño Econometría Avanzada, donde puedo dar un fundamento matemático a los fundamentos básicos que enseñé de manera intuitiva anteriormente.

    Un buen profesor debe tener bien en claro cuál es su objetivo en mi opinión, y asegurarse que el alumno lo alcance.

    Saludos.

  12. Gracias por la detallada respuesta, Alexander.

    ¡Vaya! NO sabía que vd era profesor y mucho menos de esas asignaturas. Como matemático, mi opinión sobre los ingenieros y economistas es más bien “no muy buena que digamos”, porque les noto una patente falta de rigor. No obstante, eso no quita que comprenda lo que me pretende decir y lo comparto por supuesto. Digamos que en mi clase, el famoso WOLFRAM y otras apps NO van a ser de mucha utilidad. Utilizo una expresión en inglés que les digo: “my exercises are APP BUSTERS”…es decir, ni las apps les va a salvar si no argumentan matemáticamente y demuestran lo que hacen (no me refiero a “demostrar tu trabajo” sino PROBAR lo que dices).

    Pondré más ejercicios en entradas próximas (esta entrada en realidad es para los que no entienden nada y necesitan todo desde cero, sino mis próximas entradas no tendrian sentido alguno para ellos).

    “Un buen profesor debe tener bien en claro cuál es su objetivo en mi opinión, y asegurarse que el alumno lo alcance.”

    Completamente de acuerdo. Hay compañeros mios que se extrañan cuando yo escribo “OBJETIVOS” en la pizarra. Lo hago porque así hay buen comienzo en cada sesión y se sabe a lo que atenerse.

  13. Cualquiera · ·

    Esto se parece al libro spivak, el cual me dió un golpe en el ego y me quitó las ganas de estudiar matemáticas.

  14. Kevin · ·

    jajajajajaja el mejor comentario del dia. Es totalmente verdad estoy leyendo la entrada y me ha traído los peores recuerdos ya que la única asignatura que suspendí fue una que utilizaba el libro de Spivak y este tipo se ve que es de esa línea. Es la típica arrogancia del matemático que todo tiene que ser “demostrado” pero luego en realidad critican a los demás como a los ingenieros y economistas, pero ¿ellos a qué se dedican realmente? No sé en Columbia pero sospecho que pasa igual que en mi país. Los únicos que son “matemáticos puros” como este señor son hijos de gente con mucho dinero.

  15. Manuela Monje, Licenciada y Doctorada · ·

    Kevin:

    Pues yo soy una señora de 68 años y la entrada de este señor me ha encantado. Soy profesora también de matemáticas y hacía tiempo que no veía una exposición tan clarísima y tan rigurosa como la que acabo de leer.

    Señor Coll: Soy una señora de origen cubano, profesora de matemáticas en Miami. Yo no leo una lección así desde que estuve yo en la universidad, así que imagínese. Es muy cierto lo que comenta de los libros de texto de ahora, repletos de fotos e imágenes absurdas que le quitan rigor a la matemática pura.

    Kevin: Usted falta al respeto. ¿Qué derecho tiene usted de hablar sobre el origen económico de una persona? ¿A usted eso qué le importa? La pregunta sería más bien ¿a qué se dedica usted ya que va de tan chulo?

    Señor Coll, son malos tiempos para el rigor de la lógica. Aquí en el sur de la Florida el nivel es abismal y hay jóvenes tan ignorantes que llegan a las aulas que a mí personalmente casi me da un enojo, pero no es culpa de ellos. Su exposición me recuerda mucho a la última vez que vi algo riguroso en las matemáticas de este tema, que fue en los años 80. ¡Cómo ha llovido!

    Alexander: Siempre he entendido que la Econometría es en realidad una ciencia social, no tanto una matemática. Siento si eso para algunos suena “arrogante”, pero es la verdad.

  16. Ioseff · ·

    “La razón de ello se debe a múltiples problemas políticos que no voy a tratar aquí porque es irrelevante a la lección en sí”

    Ahora me carcome la curiosidad hasta que decida hablar sobre ello. Soy consciente del manido tema de “EVILUTION EVILUTION” pero no sé cómo eso se transpone a las matemáticas: ¿Acaso hablar de un dominio REAL en lugar del dominio NATURAL de los números es ya relativismo y por ende una inmoralidad en sí misma? Pues ni me quiero imaginar qué pasaría si vieran qué pasa con los números complejos…

  17. Joaquín · ·

    Saludos a todos. Vamos allá.

    1- En el caso dado, X-Y daría como resultado 0.

    2- Sí, a>c y en ningún caso a=c toda vez que en todo caso c>b, siendo a mayor o igual a b.

    3– En este caso, x/b será siempre mayor que y/a. Ejemplo: Si x es 6, y es 4, siendo a 2 y b es 1, x/b>y/a, puesto que 6/1 es mayor que 4/2.

    4– x<y<0. Si X es 2 e Y es 4, 1/4 es menos que 1/2, con lo que 1/y < 1/x y no 1/xY, y el exponente a es un número negativo, el resultado de Y elevado al número a es mayor que el resultado de X elevado al número a.

  18. Al tal Kevin:

    Me hace gracia como usted viene aquí con malas actitudes y tiene la osadía de hablar sobre lo que se dedican los demás. Esta claro que usted no se dedica a nada productivo. Se nota que no dio la talla en matemáticas y por eso está resentido.

    Ha quedado en evidencia su ignorancia.

    Sra. Monje: Gracias por su comentario y bienvenida al blog. Lo de las fotos en los libros de texto de matemáticas en EEUU es irritante. Varias páginas se dedican a dar alguna “historia” breve sobre algún matemático, sin necesariamente entrar en detalles concretos. Muchos de los ejercicios están escritos para un nivel bajo y luego en muchas ocasiones carecen de rigor. Conozco, por ejemplo, un libro de texto de “Pre-Algebra” en el que se confunde MASA con PESO. Otros se atreven a llamar “potencia” a un exponente o índice. ¡Eso por no hablar de lo que hacen algunos a los polinomios y cómo no enseñan las leyes sobre potencias ANTES de enseñar la multiplicación de monomios y binomios, polinomios, etc!

    Luego, usted está en el sur de la Florida y conozco de primera mano lo pésimo que es el nivel allí. Tan malo es, que hasta un alumno de colegio público en NUEVA YORK, que ya sabe usted lo terribe que son los colegios públicos de la ciudad de NY, parecen hasta catedráticos al lado de no pocos alumnos de Miami. Es triste. Yo he dado clases a veces en Miami y he quedado hasta desesperado por las preguntas que tienen algunos alumnos…preguntas tales como 5 elevado al cuadrado es 25 y una chica me dice “de donde sacas 25, no son 5 x 2?” UNA BARBARIDAD.

    IOSEFF: Enlazando lo que acabo de comentar, lo explico de forma breve. Tiene que ver con el hecho de que en USA, la educación está en manos de padres y de políticos, no de educadores profesionales ni mucho menos de matemáticos. Aquí no segregan a los alumnos por carrera o estudio, es un “abarca todo lo que puedas”, aunque sea de forma superficial. Existe una expresión en inglés que me gusta mucho: “a mile wide and an inch deep”. Resume perfectamente la educación matemática aquí. Se cubren de manera brevísima muchos temas, pero no se entra en detalle. Aquí la intención es que TODOS tomen las mismas asignaturas en el bachillerato. No existe como en España eso de “bachillerato de ciencias o letras”, no. TODOS los alumnos aquí tienen los mismos requisitos de educación general. Si van a colegios de calidad, por supuesto que el nivel es bastante más alto así como los requisitos, pero digamos que la norma suele ser algo así como:

    1º curso de “High School”: Algebra I
    2º curso: Geometría (aquí la Geometría es una asignatura aparte)
    3º: Algebra II o “Intermediate”
    4º Precalculus ó Calculus (si tu colegio lo ofrece) y si pudiste saltarte Algebra II.

    Luego están los políticos que han aplicado lo que aquí se llama el “Common Core” y es tremendamente controvertido, hasta tal punto que hay padres que se dedican a atacar a los profesores que sí defendemos los estándares de Common Core FEDERAL y aun asi con eso, cuando llegan a la universidad muchas veces siguen sin estar preparados adecuadamente.

    En fin, hay muchos libros escritos sobre el tema, pero es para que tenga una idea del desastre.

    ¡Y sí! Ha habido hasta controversias sobre qué libros de matemáticas usar y qué contenidos cubrir o cómo. Incluso hay profesores que se han dedicado a decir que las matemáticas son “racistas”.

    Saludos

  19. Joaquín:

    ¡Muy bien argumentado! Se nota que usted es de la época de la “EGB” ¿verdad?

    Mañana los ejercicios serán bastante más interesantes, eso sí.

    Estoy francamente satisfecho del “nivel” que estoy viendo (en casi todos, menos gentecilla que viene a reventar). Estoy conforme con que podemos pasar a la segunda fase de esta exposición, en la que entraré a comparar cómo lo trata el libro de Santillana y cómo lo trato yo.

  20. Alexander · ·

    Kevin.

    “. Es la típica arrogancia del matemático que todo tiene que ser “demostrado” pero luego en realidad critican a los demás como a los ingenieros y economistas, pero ¿ellos a qué se dedican realmente? No sé en Columbia pero sospecho que pasa igual que en mi país. Los únicos que son “matemáticos puros” como este señor son hijos de gente con mucho dinero.”

    Por desgracia las matemáticas han creado las herramientas que usas para escribir tus estupideces 😦

    Señora monje.

    “Alexander: Siempre he entendido que la Econometría es en realidad una ciencia social, no tanto una matemática. Siento si eso para algunos suena “arrogante”, pero es la verdad.”

    Es cierto, aunque la base de la Econometría es la estadística matemática.

    Ya que trae a colación el tema de que la Economía es una ciencia social, paso a responder también a Alfredo acerca de eso aquí.

    “Como matemático, mi opinión sobre los ingenieros y economistas es más bien “no muy buena que digamos”, porque les noto una patente falta de rigor. No obstante, eso no quita que comprenda lo que me pretende decir y lo comparto por supuesto.”

    El problema es doble. Hay muchos economistas que apenas pasaron Matemática 1, y hay otros que son matemáticos, y aplican sus teorías abstractas a la Economía para darle un aire de rigurosidad y elegancia que muchas veces NO LO NECESITA. Yo creo que estos últimos lo hacen porque saben que el jurado que publica sus papers inútiles pertenecen al primer grupo, y no tienen ni puta idea de las resoluciones que dan a problemas que NADIE SE HA PREGUNTADO Y NADIE LE IMPORTA. Cuántas teorías económicas “condimentadas” con matemáticas abstractas han influido de manera negativa en la Economía real no puede ser medido, pero es una buena manera de ocultar tu propia agenda política dándole un aire de “autenticidad” porque utiliza fórmulas que nadie entiende.

    Yo tengo un lema (todavía no patentado, por desgracia) que uso como una piedra de toque: Si no eres capaz de presentar tus problemas económicos y respuestas de manera que hasta tu abuela lo entienda, entonces tu escrito es ciencia ficción en el mejor de los casos, o palabrería barata en el peor.

    Saludos.

  21. Joaquín · ·

    Alfredo:

    Gracias por su comentario. Efectivamente, yo soy de la época “egbera”. Le felicito por su exposición que ha sido en verdad magistral, y destaco de la misma su CLARIDAD CONCEPTUAL así como su naturaleza lógico-secuencial, virtudes estas que por desgracia no acompañan ni acompañaban en mi época a muchos profesores de matemáticas. Como sabe mi mundo es el jurídico, y yo doy una especial relevancia a la claridad conceptual y a la lógica a la hora de argumentar.Lamentablemente el mundillo jurídico ha cambiado muy para mal en este sentido.

    Aunque soy más de letras que de ciencias, nunca he soportado a esos majaderos que soltaban y sueltan el “ej que soy de letras”para justificar su ignorancia y absoluta falta de interés por todo lo relacionado con la biología, las matemáticas, la física o la química.

    Estoy muy de acuerdo con lo dicho por la señora Monje. Y añado que el tal Kevin es un provocador, un verdadero ceporro o las dos cosas, porque si coincide con la apreciación del tal Cualquiera, hace falta ser zopenco para decir que la exposición de Alfredo es un golpe al ego.En cuanto a lo de que los matemáticos sólo pueden ser gente de dinero, es una majadería propia de un votante del Coletas y consumidor habitual de porros. Qué tendrá que ver el tocino con la velocidad…

  22. Joaquín · ·

    Alexander:
    Completamente de acuerdo. Una teoría económica no desarrollada y expuesta de manera que un lego con un mínimo de CI no pueda entenderla, es pura prestidigitación.

  23. Joaquín · ·

    Voy a recomendar un libro de matemáticas:

    “La matemática, contenido métodos y significado” de Kolmogorov, Laurentiev y Alexabdrov.

    El nivel de los matemáticos rusos ha sido tradicionalmente sobresaliente.

    PD:

    Sí , yo también he oído decir que las matemáticas eran racistas. INFUMABLE.

    Me ha llamado mucho la atención sobre lo que dice de alumnos en Miami a los que les cuesta entender que 5 al cuadrado son 25…

    Y lo de que un libro de texto confunda masa con peso es absolutamente deplorable.

  24. ALEXANDER:

    Sí, bueno en todo caso creo que esos matemáticos serían matemáticos “aplicados”, no puros…más que nada porque (al menos en el caso de España o EEUU), ningún matemático puro se dedicaría a la economía, precisamente porque es irrelevante a nosotros y sí, totalmente de acuerdo que la Economía NO necesita ese nivel. Eso sí, a mí no me gusta la filosofía “austriaca” que reniega directamente de las matemáticas. Por eso se nos cuelan a veces “economistas” como Juan Ramón Rallo, que no es más que un divulgador de pseudociencia con pinta de cocinero (con todos mis respetos a los cocineros de profesión).

    JOAQUIN:

    Ah sí, conozco esos libros y comparto que las matemáticas rusas son de las mejores. Les sigue muy de cerca la británica (no la contemporánea claro, sino la del siglo XIX y principios del XX) así como, todo hay que decirlo, la francesa…muy dados a la abstracción.

    Agradezco sus palabras sobre mi exposición. Ya estoy preparando para mañana la siguiente. Sí, muchas veces los profesores dejan muchas lagunas en las explicaciones y gran parte del orígen de la confusión tiene mucho que ver con OMISIONES imperdonables. Siendo usted del mundo jurídico, una cosa que ayuda es que el sistema continental basado en códigos es muy dado a la secuencia lógica, lo cual ayuda en las matemáticas. Ha habido grandes juristas que también han sido matemáticos. Son dos ramas relacionadas en su lógica, ya que las definiciones son absolutamente imprescindibles como punto de partida. Es como aquél ejemplo de estar en el tren un grupo de ingenieros y un grupo de matemáticos pasando por un campo y ven una oveja negra. El ingeniero dice “¡mira mira, una oveja negra, parece que en este pueblo las ovejas son negras!” El matemático le mira, suspira con resignación y le responde: Solo podemos decir que por lo menos hay UNA oveja en este pueblo, que es de color negro en el lado que podemos ver. No sabemos otra cosa.

    Sí, sabía que usted probablemente iba a participar porque recuerdo perfectamente cuando hablamos sobre eso de “shhoooyyy de letrasshh”. A mí siempre me ha interesado aprender cualquier cosa, incluso cosas “no matemáticas”. Puedo perfectamente interesarme por la poesía de Byron (si viene al caso) aunque probablemente no compraría ningún libro de poesías. La de veces que me han dicho eso de “shhhooyyy de letrasshh tronko, yo esto de las mates….” No, tú no eres de “letras”, tú eres simplemente una persona que no se interesa por aprender, un pedazo de carne y poco más.

    El tal Kevin sí, es el típico drogata que anda pululando más de lo normal últimamente porque están todos encerrados. Cuando se levanten las restricciones, volverán a sus actividades ociosas. Pobrecitos, no dan para más.

  25. Joaquín · ·

    Alfredo, muy de acuerdo con esa correlación que establece entre el Derecho y las Matemáticas a la que yo añadiría el Latín y la Filosofía.Una mente lógico-abstracta es fundamental para ser un jurista decente. Lamentablemente en España de eso abunda muy poco en la actualidad. Cuando estaba en quinto de Derecho ya me chirriaba oír a muchos berzotas quejarse de que la “Filosofía del Derexo no vale pa na porqke no te la piden en los despaxos”.Estos mentecatos ya se anticipaban a esa hecatombe que fue el plan Bolonia, donde todo se subordinó a la empresa privada.Muy bien idiotas, os voy a decir para qué sirve la filosofía. Para aprender a pensar,y a hacer sentencias y demandas en condiciones, así como para preparar un juicio. Hace unos meses vino a mi despacho una abogada en prácticas a pedirme consejo.La jovenzuela estaba bien preparada.Yo le recomendé leer mucho, y no sólo de Derecho, y aprender idiomas, y no porque “el ingleeeesh es muy importante”,me da igual que aprenda usted una lengua muerta.Lo que importa es que maneje muy bien el pensamiento abstracto y la rapidez mental.

    El ejemplo que pone de la oveja negra y el ingeniero es muy gráfico.

    Voy a mencionarle un ejemplo de BURRICIE aritmética real. Hace unos días le dice la Adriana Lastra a Pablo Casado en el congreso que insulta mucho, y que en 15 minutos ha proferido 37 insultos, con lo que ha insultado 3 veces por minuto.Como lo oye;según esta oligofrénica portacoza de la PSOEen el congreso, 3×15=37. Debe de ser que 3×15=45 es matemática racista o algo así.

    Pd: Si Juan Ramón Rallo tiene pinta de cocinero,que la tiene,Gabriel Calzada tiene pinta de pinche de cocina.Eso sí,WITH THE FEETS IN THE EARTH como dice él,jajajajajajaaaaa.

  26. Joaquin:

    Sí, el Latín también (aparte de fomentar una buena gramática). Pero ya sabe, los ancaps y otra basura en el nombre de la “libertad” han privatizado todo y no solo eso, han convertido las universidades en “empresas” donde lo único que vale es “esshhtoo como lo puedo ushhar en el mundo laborallll”.

    Por esa razón ya no se estudia ni latín ni mucho menos las matemáticas puras…ya sabe, “cosas de ricos” que dicen algunos ineptos.

    Sí, a mí me encantaba las distintas filosofías del Derecho (yo soy más bien “de Kelsen”) pero recuerdo que en España muchos me decían exáctamente lo que le han dicho a usted. “¿Y esshhto qué utilidad tiene”?? Pues hombre, antes de tener que oir tus sandeces y leer a un gran filósofo…te puedes imaginar con quién me quedo (así les contestaba a los mediocres).

    Sí, un buen jurista debe ser tremendamente culto y escribir unas sentencias ejemplares. Algunos de los mejores juristas de la historia incluso han llegado a insertar poesía de Shakespeare (o su propia poesia) en las sentencias penales o constitucionales.

    ¡Anda! Qué bárbaro lo de LASTRA. Sí, debe ser eso que 3 x 15 = 45 no solo es racista sino machista además. “Hay que respetar todas las opiniones”, ya sabe…

    “Pd: Si Juan Ramón Rallo tiene pinta de cocinero,que la tiene,Gabriel Calzada tiene pinta de pinche de cocina.Eso sí,WITH THE FEETS IN THE EARTH como dice él,jajajajajajaaaaa.”

    ¡Ciertamente! “With the feets in the earth” y seguro que “with the hands in the cazo” en la “keetchin”.

  27. Joaquín · ·

    Sí,Alfredo,han querido convertir la universidad en una empresa. Y por supuesto ni a progres porreros totalitarios ni a peperos neoliberales les interesa que la gente aprenda a pensar por sí misma.

    Ese jurista que citaba a Shakespeare debía de ser Lord Denning.Ufff,hoy en día el nivel general de la judicatura se ha degradado bestislmente. No vea usted la falta de pensamiento abstracto que se desprende de muchas de las resoluciones que leo.

    Uyyyy,la filosofía no vale de nada,dicen esas mulas.Qué barbaridad…hablar tampoco sirve de nada,comuníquese por sonidos guturales, como los animales,mediocre.

    Un saludo

    Muy grave lo de la Lastra porque tras escuchar hablar al Casado tomó notas y dijo que en 15 minutos había soltado 37 insultos,lo que hacía un promedio de 3 insultos por minuto…EJEMMMMM..

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