Una para “nerds”

Ha sido un verano muy curioso. Hace una semana que ya concluí mi curso especial (con derecho de autor y todo) de Cálculo que imparto todos los veranos a cualquier universidad americana que me acoja. Leyendo los comentarios de los alumnos en sus “evaluaciones” de mí, muchos dijeron que fue uno de sus mejores veranos en toda la vida, que yo les “inspiré” y demás cosas bonitas en las que no me voy a centrar. Entre las críticas, no obstante, dijeron que el curso es “muy difícil”, “demasiado riguroso” y que yo no tengo en cuenta que son “jóvenes” que en muchas ocasiones no alcanzan ni los 20 años. ¡Como si eso fuera pretexto para degenerar y degradar la calidad de las clases! El decano, por su parte, me dio la mano y me ha otorgado un certificado como “el mejor profesor de cursos de verano” que tuvo la Universidad de Miami este verano. “Gracias don Alfredo, por elevar la calidad de nuestras clases” y obligar a los estudiantes a pensar más allá de sus límites. Nunca se olvidarán de ti”, dice el decano en su carta dirigida a mí. No, tranquilos – no se ha traducido en un empleo ni en un contrato indefinido, que en EEUU tampoco atan los perros con longaniza y el esfuerzo ya no cuenta tanto como hace décadas. Pero esta entrada va a ser exclusivamente matemática, así que si no entiendes mucho del tema, posiblemente no te vas a enterar de mucho hoy. Por eso la he titulado “para nerds”. En mi época colegial, yo oscilaba entre la “tribu urbana” de los “nerds” (sobre todo al principio) para luego convertirme en una suerte de “pijo” pensador, eso sí, siempre riguroso en mi análisis. ¿Por qué ha sido tan “riguroso” mi curso de Cálculo? Por mi filosofía sobre cómo se “debe” impartir el Cálculo en la universidad. ¿Cuál es ese método? El infinitesimal. ¿Qué es? Cito de la wikipedia: “El cálculo infinitesimal fue propuesto inicialmente por Arquímedes. Luego fue utilizado por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, en los albores del surgimiento del Análisis matemático moderno, pero posteriormente fue desacreditado por George Berkeley y finalmente olvidado. Durante el siglo XIX Karl Weierstrass y Cauchy comenzaron a utilizar la definición formal de límite matemático, por lo que el cálculo infinitesimal ya no era necesario. Sin embargo durante el siglo XX los infinitesimales fueron rescatados como una herramienta que ayuda a calcular límites de forma simple.” Es un método completamente riguroso. Debo decir (esto lo entenderán los que han estudiado las controversias en las matemáticas) que personalmente soy fanático — rozando el sectarismo, del método de Leibniz, el alemán, por encima del inglés, Newton. El cálculo de Leibniz es riguroso, mucho más analítico y estricto en normas que el de Newton.

Para comparar, normalmente los estudiantes de cálculo (al menos en EEUU, desconozco el caso español actual) aprenden la definición famosa del límite: ε – δ. Aún cuando se dedica muchísimo tiempo a esta definición, la mayoría de estudiantes no lo aprende correctamente. Es más, en la mayoría de cursos, le dedican poco tiempo. Por esta falta de comunicación, porque se imparte mal, el estudiante se ve privado de un cálculo — un método para calcular que ha funcionado bien durante siglos y es totalmente riguroso.

Aquí van algunos ejemplos de lo que un estudiante podrá hacer después de estar en mi clase.

a ≃ b significa que a – b es infinitesimal; por ejemplo, a ≃ 0 significa que “a” es infinitesimal. Si “r” es real
y a ≃ r, podemos escribir que r = st (a) (la parte estándar de “a”). Claro, si a y b son reales y a ≃ b, entonces
a = b. Déja que y = f(x) y Δy = f(x + Δx) – f(x). Por definición, f es una función continua en todo x porque (x + Δx)² = x² + 2xΔx + Δx² ≃ x² cuando Δx ≃ 0. Resumiendo, todo esto queda así finalmente:

calculo

A menudo, esta prueba se ignora, probablemente debido a la aversión que existe contra el método antiguo de los infinitesimales.

Otros ejemplos —

Funciones

Deja que “h” sea la siguiente función:

h(t) = t³ + 1

t es una variable, h es una función, y h(t) es un término algebraico. Las siguientes expresiones también son términos y se computan con el método de la sustitución:

calculo

Si dibujamos h(t) = t³ + 1 con unos puntos, tenemos esto:

calculo

Quizás la mejor descripción para el curso que ofrezco es simplemente CÁLCULO. Me dedico exclusivamente al cálculo en la asignatura, nunca mezclo temas ni degrado los temas solo para que TODOS puedan entenderlo (aunque en realidad eso es imposible). Es posible que yo sea un poco psicópata en algunos temas, pero pienso que si no estás sufriendo en una clase de cálculo, probablemente no te están enseñando cálculo realmente.

Muchos libros de texto modernos no explican la materia, sólo ofrecen herramientas para resolver problemas y “aplicaciones” de cálculo como dicen, para aprobar exámenes nacionales. Eso está muy bien para los que no les interesa nada las matemáticas, pero no me vale para ENSEÑAR CALCULO. Mis apuntes no están tupidos de gráficas generadas por ordenadores ni por ejemplos redundantes. Ofrezco pruebas y teoremas para justificar lo que hacemos. Mi rigor no tiene límites.

Eso sí, mis apuntes no son para los blanditos que solo quieren aprobar y salir del tema. Si solo te interesa resolver problemas de calculo, no durarás mucho en mi clase. Pero si quieres las herramientas y las justificaciones detrás de las respuestas, entonces te gustará mi curso de verano.

Estoy absolutamente centrado en la escuela de Weierstrass. A los alumnos no les gusta tantas letras griegas, tantas deltas, tantas pruebas, pero para mí, sin eso, no hay justificación alguna para aprender.

El calculo debería ser comparable a una serie de latigazos que te escarmientan a comportarte y ser mejor persona. Siento pasión por la asignatura, pureza en mi prosa y cierto rigor de fanatismo, lo reconozco. Es que me da pasión cada vez que los alumnos y yo resolvemos una ecuación después de sudar mucho por los nervios que generan los ejercicios difíciles. Los reaccionarios detestan mi forma de impartir la asignatura y prefieren las matemáticas aplicadas, pero yo creo que los jóvenes aprenden más en mi clase – no, no lo digo por ser arrogante sino por lo que me dicen ellos mismos.

Mis apuntes y formas de dar la clase no son del agrado de todos. Se presupone que tengas cierto rigor. Si no lo tienes, lo pasarías muy mal en mi clase.

Termino con el texto de una evaluación de un alumno en clase:

“La verdad es que esta clase ha sido la más difícil que he tenido en toda mi vida. Tuve que pasar horas y horas solamente en tres problemas. Horas. A veces tenía éxito, en la mayoría de ocasiones sentí frustración con el profesor y sus métodos. Entonces se me ocurrió preguntarle en tutorías o por la calle, a ver si me atendía y así fue. Alfredo es un gran defensor de la memorización de teoremas, pero a mí me ayudó mucho y se implicó en mi vida personal. Nunca me dio respuestas porque me decía que “yo soy capaz” de encontrar la solución, pero sí me ofrecía marcos para intentarlo. Aun con todos mis esfuerzos, solo consegui una “B” (notable, en España). Me sentí muy decepcionado porque realmente quería un sobresaliente. Pero Alfredo me dijo que debo tener perspectiva. Al final del curso, tenía un nivel muchísimo más alto que mis compañeros en otra clase con otro profesor más moderno que Alfredo. Los logaritmosya no me intimidaban. No exagero cuando digo que si conseguiste un “notable” de este profesor, podrías impartir una clase de cálculo físico si usas los libros normales en EEUU. Si te gusta sufrir pero aprender al final, debes apuntarte a las clases de este señor porque su método es el más riguroso”.

Anuncios

7 comentarios

  1. Alfredo:

    “Para comparar, normalmente los estudiantes de cálculo (al menos en EEUU, desconozco el caso español actual) aprenden la definición famosa del límite: ε – δ. Aún cuando se dedica muchísimo tiempo a esta definición, la mayoría de estudiantes no lo aprende correctamente. Es más, en la mayoría de cursos, le dedican poco tiempo. ”

    Todavia recuerdo como teniamos que demostrar que lim x + 2 = 4, cuando x tiende a 2 a traves de ε y δ. Durante ese tiempo lo hacia, aunque recien me di cuenta de lo que estaba haciendo tres anios despues. Es gracioso para mi ahora como uno demora en aprender un concepto mas que la parte operativa.

    “a ≃ b significa que a – b es infinitesimal; por ejemplo, a ≃ 0 significa que “a” es infinitesimal. Si “r” es real
    y a ≃ r, podemos escribir que r = st (a) (la parte estándar de “a”). Claro, si a y b son reales y a ≃ b, entonces
    a = b. Déja que y = f(x) y Δy = f(x + Δx) – f(x). Por definición, f es una función continua en todo x porque (x + Δx)² = x² + 2xΔx + Δx² ≃ x² cuando Δx ≃ 0. Resumiendo, todo esto queda así finalmente:”

    Tengo que admitir que nunca me atrayo los infinitesimales. Parecian hacer mas dificiles conceptos que podias aprender por medio del calculo tradicional. De todas formas, no entiendo la imagen de la formula. Cual es la definicion de “t”? Me imagino que es algo asi como:

    y= y(t) y x= x(t)

    No tengo idea de la definicion de ε en este caso.

    Recien me he dado cuenta de la enorme importancia de los infinitesimales al querer aprender el calculo estocastico. Las funciones estocasticas son imposibles de analizar con las herramientas del calculo tradicional, como esas funciones que son continuas en todos los puntos y diferenciables en ninguno. Hasta ahora no se como puede existir una funcion asi, y la unica ayuda para darme una idea de ello son los infinitesimales.

    “Muchos libros de texto modernos no explican la materia, sólo ofrecen herramientas para resolver problemas y “aplicaciones” de cálculo como dicen, para aprobar exámenes nacionales. Eso está muy bien para los que no les interesa nada las matemáticas, pero no me vale para ENSEÑAR CALCULO. ”

    Mmmmm. Parece una tendencia en todo EEUU. He querido leer algunos libros de analisis real, y muchos de ellos van dedicados a estudiantes ya graduados de matematicas. Que aprenden en cuatro anios, si hasta yo, que no soy matematico, puedo leer sus libros? Algunos dicen que lo hacen para que los estudiantes lleven un curso de posgrado.

  2. rvelita:

    “Todavia recuerdo como teniamos que demostrar que lim x + 2 = 4, cuando x tiende a 2 a traves de ε y δ. Durante ese tiempo lo hacia, aunque recien me di cuenta de lo que estaba haciendo tres anios despues. Es gracioso para mi ahora como uno demora en aprender un concepto mas que la parte operativa.”

    Sí, es un método que no me gusta nada y es el “moderno”, no obstante.

    ¿La definición de t?

    Pues recuerda que la función original es esta:

    h(t) = t³ + 1

    En la imagen, t se sustituye con distintos valores que sustituyen la t. Por ejemplo si el valor de t ahora es “x”, entonces hay que escribirlo así:

    h(t) = x³ + 1

    Y asi en la imagen se ve en lo que se convierte h(t) cuando se sustituye por otros valores.

    “Recien me he dado cuenta de la enorme importancia de los infinitesimales al querer aprender el calculo estocastico. Las funciones estocasticas son imposibles de analizar con las herramientas del calculo tradicional, como esas funciones que son continuas en todos los puntos y diferenciables en ninguno. Hasta ahora no se como puede existir una funcion asi, y la unica ayuda para darme una idea de ello son los infinitesimales.”

    Correcto – y el cálculo estocástico es una de las ramas más interesantes (que genera buenos empleos también).

  3. leak · ·

    Soy un gran admirador del análisis no estándar, especialmente del trabajo de Robinson y el formalismo decimonónico de Cauchy, Weierstrass y Cantor me parece una locura para la gran mayoría de los alumnos de grado y posgrado, que usarán infinitesimales en sus profesiones muchas veces más que epsilon y delta. Epsilon y delta sirven como instrumento de prueba tanto como los infinitesimales y ambos son igualmente rigurosos. El cálculo estuvo antes de epsilon-delta y sigue vivo en otros formalismos.

    Para un “major” en matemáticas, conviene saber ambos; para otros majors, conviene no atosigar alumnos con definciones y “pruebas” que no son más que series de símbolos que se aprenderán de memoria y, con suerte (cómo dijo rvelita), se dominarán al cabo de años.

    Cálculo para majors no matemáticos tendría que ser posible aprenderlo sin recurrir a epsilon delta. Incluso análisis (cuya profundidad excede a la del cálculo puesto que tiene que ver con cuestiones formativas, como teoría de conjuntos, especialmente en los reales), puede perfectamente darse recurriendo a demostraciones más cortas que incluso son más intuitivas.

  4. Me alegro que conozca el trabajo de Robinson, leak. Personalmente me gusta también el formalismo, pero la ironía es que no creo que sea tan “riguroso” en un sentido universal como sí lo es el infinitesimal.

    A mí me gustan las pruebas, pero de la misma forma que admiro una gran pintura en un museo.

    De acuerdo en lo demás.

    Saludos

  5. leak · ·

    Don Alfredo:

    Cómo me imagino que sabe, Robinson es el responsable de hacer que los infinitesimales sean riguosamente definidos de una manera que eludió a muchos matemáticos por décadas. En parte, su trabajo en lo que se denomina el set de los hiperreales viene a demostrar de una manera consistente y muy rigurosa que los infinitesimales de los que hablaba Leibniz y que se usaron extensamente hasta principios del siglo XX, son perfectamente válidos para todas las pruebas y elucubraciones matemáticas que hacemos con el análisis estándar.

    Las pruebas son fundamentales, pero de la manera en que rutinariamente se enseñan, no son más que una apostilla en el medio de un texto denso. En su versión estándar, cuestiones como la continuidad, la derivabilidad, la diferenciación e incluso pruebas de existencia por el absurdo, resultan intragables para la mayoría de los estudiantes. Entonces se las aprenden de memoria y los profesores ya lo saben. Ahí es donde yo al análisis estándar y a epsilon-delta lo considero una herramienta inadecuada. Para el que va a vivir de demostraciones, para el matemático que va a crear matemática formal, si, que las aprenda y bien, pero para la inmensa mayoría, epsilon-delta en “pruebas” es como querer atornillar con una sierra. No enseña a pensar, no enseña matemática y lo peor de todo, contradice muchas de las maneras que tenemos de pensar en “números infinitamente pequeños o infinitamente grandes”. El tiempo es tirano. Para que un alumno tipo entienda el porqué de epsilon-delta se necesitan mínimos 2-3 años de “constancia”. Lejos estamos de poder dedicarle semejante tiempo cuando formamos gente en disciplinas que “usan” matemáticas, pero que no la estudian.

    Pero vaya uno a decirle al establishment matemático que mayoritariamente está creando autómatas y no seres que pueden entender y recrear el cálculo… Como lo veo, es un desperdicio de talento llega hasta a deprimirme, qué quiere que le diga.

  6. Leak:

    “Cómo me imagino que sabe, Robinson es el responsable de hacer que los infinitesimales sean riguosamente definidos de una manera que eludió a muchos matemáticos por décadas. En parte, su trabajo en lo que se denomina el set de los hiperreales viene a demostrar de una manera consistente y muy rigurosa que los infinitesimales de los que hablaba Leibniz y que se usaron extensamente hasta principios del siglo XX, son perfectamente válidos para todas las pruebas y elucubraciones matemáticas que hacemos con el análisis estándar.”

    Sí. Por eso me siento endeudado a Robinson. Y en mis apuntes, simplemente he llevado su método a un paso más allá para darle la difusión que se merece.

    Estoy totalmente de acuerdo en lo demás. No lo podría haber dicho con mejores formas.

Comente

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: